Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.3 Ч.2
 
djvu / html
 

130 ГЛАВА XXXII. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ §594-595
Если f(x) есть функция с интегрируемым квадратом, а ядро S(x,y) положительно, то имеем (§ 590):
* ь
\' J S (х, у) [/(*) — ?/, 0,
причем коэфициенты ft даны формулой (36). Раскрывая это неравенство и принимая во внимание соотношения (34), мы получим эквивалентное ему неравенство:
ь ь Z^S(x,y)f(x)f(y)dxdy, (38)
/= 1 а а
вполне аналогичное неравенству Бесселя.
Если f(x) есть функция с интегрируемым квадратом, то правая часть имеет конечную величину, и следовательно, ряд из квадратов коэфициентов ft сходится.
595. Ядра вида А (х) S (х,у). Столь простые свойства ядер вида А (х) S (х, у) при А (х) положительном не распространяются на ядра того же вида, если А (х) меняет знак в интервале (а, Ь). Например, ядро cos х sin х sin у, причем а = 0, & = тг, ортогонально самому себе. Однако в случае, когда S(x, у) — положительное* ядро, многие наиболее важные свойства симметрических ядер, кроме только одного особого случая, могут быть распространены на ядра этого вид-?, каков бы ни был знак коэфициента А (х) в интервале (а, Ь).
Согласно приведенному выше (§ 593) замечанию, если <р (х) есть решение однородного уравнения
то функция ф (х) = -. представляет решение союзного уравнения А (х)
ь
а
Ь
Г»/ _\_/\| **
постоян-
Эта функция ф (х) равна также X \ S(x, s) y(s) ds, и, отбрасывая
а
ныи множитель X, можно формулировать следующий результат:
* Функция А (х) предполагается ограниченной, но может иметь конечное число точек разрыва между а и ft. Интегральные уравнения этого вида сначала были изучены Гильбертом (Gcttingen Nachrichten 1906, стр. 462), который называет их полярными уравнениями или уравнениями третьего рода. Приведенные в тексте доказательств указаны Марти (Marty, Comptes rendus, 28 февраля и 25 апреля 1910). Ср. также Фубини (Fubini, Annall di Matematlca, 3-я серия, т. 17).

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310


Математика