Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.3 Ч.2
 
djvu / html
 

,120 ГЛАВА XXXII. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ § 591
случае коэфициент й„ равен ^~ — , и общая формула (6) переходит в сле-
Ал
дующую: +оо
МъМ. (16)
/1=1
Соображения § 589 показывают только, что при постоянном значении у ряд (16) равномерно сходится относительно х. Из соображений симметрии м щно сказать, что при постоянном значении х этот ряд равномерно сходится относительно у, но отсюда нельзя сделать непосредственно вывода, что он равномерно сходится относительно совокупности обоих переменных. Чтобы это доказать, рассмотрим ряд, полученный при у = х:
2. X (О' X 2 X
..... 07)
. ..
А2 Ая
я
Члены этого ряда все непрерывны и положительны, следовательно, и сумма его представляет непрерывную функцию, т. е. этот ряд сходится равномерно *. А в таком случае неравенство
X2.
л
показывает, что и ряд (16) абсолютно и равномерно сходится. С помощью (Ьоомулы (16) мы найдем одно за другим разложение последовательных повторных ядер К^(х,у), /С(4) (х, у)..... пользуясь рекур-
* Доказательство этой теоремы, принадлежащей Дини (Dini), очевидно, равносильно доказательству следующего предложения.
Пусть будет ип (х) положительная непрерывная функция в интервале (а, Ь), которая (трем тся к нулю при неограниченном возрастании л; если ия+1(дс)-^ ^ ип (х), она стремится к нулю равномерно
Обозначим через М „ (а, Ь) максимум функции иа(х) в (замкнутом1) интервале (а, Ь)\ по предположению мы имеем: 0 < Мп+1 (а, Ь) ^Мп (а, Ь)\ следовательно! Мп (а, Ь) стремится при неограниченном возрастании п к пределу L (a, b) S= 0. Достаточно доказать, что этот предел равен нулю. Д<. пустим, что L (а, Ь] > 0; если разбить интервал (а, Ь) на два частичных интервала (:, с), (с,Ь), то по крайней мере одно иа чисел L(a, с), L(c,b) окажется равным L(a,b). Применяя последовательные разбиеиия, как это делалось уже несколько раз (I, § 8), мы докажем существование на интервале (а,Ь) такого числа лг0, что предел L (хл — h,XQ + h) .равен положительному, числу L' независимому от Л, как бы мало ни было это число Л. Но это заключение несовместимо с условиями теоремы. В самом деле,
можно сначала найти такое целое число т, что ит(хаХ — , далее достаточно малое число- и, так что в интервале (х^— h, xa-\- h) абсолютная величина разно-•сти будет меньше -^- . Следовательно, во всем этом интервале будем иметь:
:"m(*) а значит,, и и- (x) ± h) яе '.'может

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310


Математика