Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.3 Ч.2
 
djvu / html
 

10 ГЛАВА XXX. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕ ИИ § 548
и иа сторонах треугольника, ограниченного прямыми у = а, х — Ь, у = х (b J> а). Дальше (§556 и след.) мы покажем, чго можно сделать гораздо более общие предположения. Что касается функции f(x), то о
ней мы предположим, что она имеет в интервале (а, Ь] конечное число
ь
точек разрыва, а если она не ограничена, то \ \ f(s) \ ds имеет конечное
а
значение. Требуется определить функцию tp (х) для каждого значения х в интервале (а, Ь).
Применяя метод, к которому мы уже неоднократно прибегали, мы будем искать формальное решение уравнения (1), взяв в качестве функции <р (л:) степенной ряд относительно \:
у (х) = <р0 (х) -Н<р, (х) + ...-)- )-«р„ (х) + •. • (2)
подобно тому, как мы это видели в случае решения уравнений гиперболического типа (§ 494); мы таким путем придем к решению уравнения (1) способом последовательных приближений. Первым приближением функции (р (л:) будет функция f(x), п-ы приближением функции <р (х) будет сумма п первых членов ряда (2), полученного этим процессом.
Подставляя ряд (2) в обе части уравнения (1) и приравнивая коэфи-циенты при одинаковых степенях X, мы получим соотношения:
где вообще мы полагаем:
X
а
Если функция f(x) удовлетворяет поставленным условиям, то операция АГ[/(*)| приводит к функции, непрерывной в интервале (а, Ь) (см. § 556). Соотнош ния (3) дают способ последовательного определения функций ф„(к), которые все начиная с ш,(х) суть непрерывные функции от х. Полученный таким образом ряд (2) сходится разномерно в этом интервале при любых значениях \.
Положим сначала, что функция f(x) ограничена. Если заменить К(х, у) и f(x) двумя доминирующими функциями К1 (х, у) и f: (х), то тот же метод, примененный к решению вспомогательного уравнения
х
Ф(х)=--\ \ К, (х, s) Ф (s) ds + /, (л), (I')
а
приводит к степенному ряду относительно \, причем коэфициенты этого ряда будут доминирующими функциями для соответствующих коэфи-циентов ряда (2). Пус ь А1 и N — два положительных числа, превосхо-

 

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310


Математика