Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.2
 
djvu / html
 

90 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 395
что эти уравнения определяют движение частицы в пространстве, причем t представляет время. Частица, коюрая в момент ^ = 0 находилась в точке Л10 (х„, уй, 2„), в момент t пришла в точку М/ с координатами (х, у, z). Когда точка Af(l описывает некоторую область Ь0 пространства, точка Mt опишет соответствующую область Df. Пусть будет М (х, у, z) какая-нибудь функция переменных х, у, z;
тройной интеграл /= \\\ М dx dy dz называется интегральным инвариантом системы (83), если значение этого тройного интеграла
М (х, у, z) dx dy dz,
распространенного на область Dt, не зависит от t и равно значению того же интеграла, распространенного на область ?>„. Например, если уравнения (83) определяют движение несжимаемой жидкости, то объем области Dt постоянен, и интеграл \ U dx dy dz есть интегральный инвариант.
Точно так же определяются интегральные инварианты линий и поверхностей. Если точка Afo описывает линию LQ или поверхность 2о > то точка Mt опишет линию Lf или поверхность 2^. Криволинейный интеграл
\ a. dx + P dy + 7 dz
называется интегральным инвариантом, если значение этого интеграла вдоль линии Lt не зависит от t и равно значению того же криволинейного интеграла, взятого вдоль L0 • Точно так же интеграл по поверхйости
Pdydz+Qdzdx + Rdx dy
называется интегральным инвариантом, если значение этого интеграла, распространенного на поверхность 2/. не зависит от t.
Эти опре еления нетрудно распространить на общий случай системы дифе-ренциальных уравнений вида (68). Для такой системы существуют п классов интегральных инвариантов: 1-го порядка, 2-го порядка.....и-го порядка, в зависимости от числа измерений множества, на которое распространен интеграл. Условия, при которых кратный интеграл порядка р был бы интегральным инвариантом, можно легко получить при помощи формул замены переменных в крнтных интегралах. Мы сделаем вычисление для кратного интеграла и-го порядка. Пусть будет
«J J *>
Dt
кратный интеграл л-го порядка, распространенный на область Dt, соответствующую, как было указано, определенной области D0; этот интеграл будет интегральным инвариантом, если он не зависит от t, т. е. если /'(г) —0. Чтобы вычислить эту производную, дадим t приращение h и найдем коэфициенг при h в разложении I(t-\-K). Обозначим через лу измененное значение xt, соответствующее изменению t в t-\-h; мы имеем:
причем новый интеграл распространен на область Df, точечно соответствующую области Dt. Выражение f(t-\-h) можно представить иначе в виде:
A)
=ff ...
JJ

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280


Математика