Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.2
 
djvu / html
 

70 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 388—389
наименьшего из чисел а и -г. и притом такое, что | Yl (x) — Уъ\<Ъ в промежутке (х0 , хй + а'). Так как YI удовлетворяет данному уравнению, то мы имеем:
и, следовательно,
X
)-yn (r) = J {f[t. Yt(t)\ -fit, ya.t (01} dt.
Положим последовательно в этом соотношении л = 1, 2, 3,...; при будем иметь:
\yt(x)-yi(x
затем при п = 2
.
л» и вообще
При неограниченном возрастании числа п правая часть этого равенства стремится к нулю; следовательно, интеграл Kj тождествен с пределом выражения уп , т. е. с У *.
389. Случай линейных уравнений. Из общего рассуждения следует, чю интегралы уравнений (39) будут, наверное, .непрерывны в определенном выше промежутке (лг0 , лг0 + Л). Но во многих случаях можно утверждать, что существует более широкий промежуток, в котором эти интегралы остаются непрерыв-.ными. В самом деле, если мы возвратимся к предыдущему доказательству, то
увидим, что условия Л < -rj , Л < -jTj введены только для того, чтобы быть уве-
ренным, что промежуточные функции yt , z{ , у%, гг , . , . не выходят из границ. (Уч — Ь,Уь + Ь), («„ — с, z0 + с), и потому функции f(x, уг, г Л, ? (x, yh z,) остаются непрерывными функциями от х между д:0 и лг0 + Л. Если же функции f(x, у, г), то нет надобности вводить зТи условия: в е функции yt, г/ будут непрерывны в промежутке (дг„ , х0 + а) В этом случае, чтобы доказать сходимость обоих рядов (46), нужно только, как и выше, чтобы существовали два таких положительных числа А и В, чтобы неравенства' (40) удовлетво! я-лись при всех значени.х у, у', г, г', когда х остается в промежутке (дг0, дг0 + д). В самом деле, повторяя предыдущие рассуждения и обозначая через М верхнюю границу количеств \-f(x,yt, z0) | и \ Из формулы конечных приращений следут, что предыдущие условия уловле* творяются, если функции f(x, у, г), <р (х, у, г) имеют частные производные по у л г, которые остаются конечными при все* значениях у и г и при изменении переменного х от ха до дг0 -(- а. Это, например, имеет место для уравнения
Лу , .
- =х+ sin у. dx
Его правая часть f(x, у) = х -j- sin у есть непрерывная функция от х, у при
всяких значениях х и у, и абсолютное значение частной производной J- не больше
оу
* За всем, что касается приближенного интегрирования диференциальиых уравнений, я от ы-лаю читателя к работам К о т т о и j (Cotton) (Acta mathematica, т. XXXI; Bulletin de la Societe de franee, т. XXXVI, XXXVU,- XXXVIII; Annalis de rilniversite de GrenoMt т- ВД1|,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280


Математика