Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.2
 
djvu / html
 

30 ГЛАВА XVIII. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 375
ИЛИ 1Л1— *')(!— .У2) — ХУ = С", (45)
так как уравнение (43) имеет два интегрирующих множителя
1 и У(\ — лг2)(1 — }2) — лгу.
Нетрудно убедиться, что обе формулы (44) и (45) равносильны, так как мы имеем тождественно:
Освобождаясь от корня, мы можем представить общий интеграл (45) уравнения (43) в виде:
•^-f-y-f Ж ху -\- С'* — 1=0, (46)
где С1 — произвольное постоянное; уравнение (46) представляет семейство кривых второго порядка, касающихся четырех прямых х — ±\, у = ±1.
Смелым наведением Эйлер пришел к. формуле такого же вида, но более общего характера, относящейся к случаю, когда X есть любой многочлен третьей или четвертой степени («Institutiones calculi integralis», т. I, гл. V и VI).
Пусть будет Г(х, у) многочлен второй степени, зависящий от двух переменных х "л у и симметричный относительно каждого из переменных:
F (х, у) = А,х*у* -f А^су (х +у) + _]_ АЗ(Х* 4- у») 4 А,ху + А6(х +у) 4- А6.
Этот многочлен зависит от шести произвольных коэфициентов Л,, А2, А3, А4, Л5, А6, и соотношение ^(лг, ^) = 0 можно представить в двух равносильных формах:
F(x, у) = My" + tfy + Я = О (48)
где М, N, Р суть многочлены второй степени по х:
Я=
а многочлены Мг, Nlt Я-, получаются из Л4, N, Р заменою х через у. Из соотношения Г(х, у) = 0 выводим F'xdx-\- F'dy = Q, или, ^заменяя F'x и /•" их выражениями, имеем:
(2Мгх -f Л^) й?лг + (2Л1у 4- N) dy = 0. (49)
Из соотношений (48) получаем:
2Му + N= ± /Л^2 — 4МР, 2/И^ 4- /Vj = ± /^ — 4MjPj , и формулу (49) можно представить иначе в виде:
** dy (50)
— 4 Л1 j
Это соотношение будет тождественно с уравнением (42), если будет А/2 — 4МР— X, откуда по симметрии следует равенство: Л/j* — ^yMjPj = Y.

 

1 10 20 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280


Математика