Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.2
 
djvu / html
 

280 ГЛАВА ХХ1Г. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 45S
Метод исчисления пределов неприменим к недналитическим уравнениям. Рассмотрим, например, уравнение
P + 9f(x> J0 = 0, (148>
где f(x, у) есть функция непрерывная, но не аналитическая, удовлетворяющая условию Липшица относительно переменного у. Выше было доказано (§ 388—391), что при этом диференциальное уравнение характеристик
имеет бесконечное множество интегралов, зависящих от произвольного параметра С. Но, чтобы заключить отсюда, как это было сделано в § 392, что существует интеграл уравнения (148), следовало бы прежде доказать, что все интегралы уравнения (149) определяются соотношением <р (х, у) = С, где функция <р имеет непрерывные производные первого порядка. Мы возвратимся к этому вопросу в следующем томе.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Пусть задана система трех взаимно перпендикулярных осей ОХ, ОУ, OZ и прямая Д в плоскости ХУ, параллельная ОХ. Из некоторой точки М пространства опускается перпендикуляр МР на Д и перпендикуляр MQ на OZ. Составить общее уравнение тех поверхностей S, у которых Касательные плоскости в любой точке М проходили бы через середину соответствующего отрезка PQ.
Найти также уравнения тех поверхностей S, касательные плоскости в любой точке М которых будут параллельны соответствующему отрезку PQ, и доказать, что существует бесчисленное множество (зависящее от двух произвольных параметров) развертывающихся поверхностей требуемого вида.
2. Найти общее уравнение поверхностей, пересекающих ортогонально шары, представляемые уравнением:
= О,
где а — переменный параметр.
Вывести из полученного результата несколько тройных ортогональных систем поверхностей.
3. Найти уравнение в частных производных поверхностей, описываемых подвижною прямою, пересекающею данную прямую под данным углом. Проинтегрировать полученное уравнение. .
4. Дана плоскость Р и точка О на этой плоскости; найти общее уравнение всех поверхностей, имеющих то свойство; что если через каждую точку т одной из них мы проведем нормаль тп, пересекающую плоскость Р в точке я, и еще Проведем перпендикуляр тр к этой плоскости, то площадь треугольника Опр будет равна данному постоянному.
5. Та же задача при условии, что угол пОр — постоянный.
6. Найти все поверхности, удовлетворяющие условию:
где X — данное постоянное, О — начало1 координат, т — какая-нибудь точка на одной из этих поверхностей, р -~ основание перпендикуляра, опущенного из О на касательную плоскость в > точке т, .и п — след нормали на плоскости хОу. •
7. Найти общее уравнение таких поверхностей, что если через точку т одной из них провести нормаль тп до пересечения с плоскостью хОу, то длина тп будет равна расстоянию On.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 281 282 283 284 285 286


Математика