Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.2
 
djvu / html
 

270 ГЛАВА ХХП. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 450
в которых коэфициенты alk суть функции от п независимых переменных Xj, л2, . . . i х„ и не содержат неизвестной функции /. Эти q уравнений (107) называются независимыми, если не существует никакого тождества вида
где Хр \,...,\9 — функции от x-f, x2, ..., хп, не равные все одновременно нулю. Ясно, что всякую систему q не независимых уравнений можно заменить системой q' независимых уравнений (q'<^q)> равносильною первой, и что никакая система не может содержать более п независимых уравнений.
Следовательно, мы всегда можем предположить, что q уравнений (107) независимы, и q ^ л.
Если q = n, и уравнения (107) независимы, то определитель, составленный из коэфициентов alk, не равен нулю, и эти уравнения имеют своим общим решением только интеграл /=С; в дальнейшем мы не будем принимать во внимание этого очевидного решения. Если q<^n, то всегда можно найти интегралы, общие для уравнений (107), последовательными интегрированиями. В самом деле, предположим, что мы проинтегрировали одно из этих уравнений, например первое; пусть будет У}, У%, • • • , УП-Л система его п — 1 независимых интегралов. Далее, пусть будет уп такая функция, что определитель Якоби
D (хг, *„..., хя) неравен нулю. Примем jj, yz, ... , У„ за новые независимые переменные.
После этой замены уравнение X1(f) = 0, очевидно, обратится в — = О,
дЛ так как оно удовлетворяется при
тогда как уравнение Xt(f) = Q (^>1) изменится в следующее уравнение того же вида, причем член с - — можно отбросить, так как — — =яО"
здесь коэфициенты Ьы суть функции от _у]э yz, . . . , уп.
Если мы предположим, что коэфициенты Ьш расположены по степеням переменного уп, то последнее уравнение можно будет представить в виде:
причем коэфициенты сп, c\t>... не зависят от уп. Так как неизвестная функция / не должна зависеть от уа, то эта функция должна удовле-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 280


Математика