Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.2
 
djvu / html
 

34t) ГЛАВА ХХЛ. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 445 и уравнение в полных диференциалах
интегрируется в квадратурах:
dz
1;
Рассмотрим, например, уравнение pq — г = 0. Присоединяя к нему соотношение q = ap, получим из них:
-i/I «-«i/I
~K a' q — a\ a '
=v\
a полный интеграл
4az = (x + ay+ &)*
состоит из параболических цилиндров, касающихся плоскости хОу вдоль образующей. Плоскость х у есть особый интеграл.
• Если F=pq ^ z, 'то уравнения (64j имеют первый интеграл р—у=а. Исходя из этого интеграла, мы придем к уравнению в полных диференциалах:
это,уравнение можно представить в виде:
z
и мы получаем другой полный интеграл z =; (у + а) (х I Ь), состоящий из параболоидов, касающихся плоскости ху.
3. Рассмотрим уравнение вида f(x,q) — /, 'у, q)—Q. Диференциальные уравнения (64bis)
dx _ dy _ — dp _ rf^
*f~ *fi~~W~~Wi Ър 5^Г дд;- • Ъу
имеют первый интеграл f(x. p) = a. Присоединяя это уравнение к данному, мы найдем из двух соотношений
f(x, P) = a, /tO/, q) = a значения р = f (x, a), q — Vi (у, в), и уравнение в полных диференциалах
rfz= <р (я, a" dx + ip, (у, a) dy интегрируется двумя квадратурами:
г= <р (х, в) dx + ?t (у, a}dy +b.
Когда уравнение первого порядка имзет предыдущий вид, то говорят, что в нем переменные разделены, Ратссмотрим, например, уравнение
pq — xy = 0,
или, иначе, -- = — . Приравнивая оба отношения постоянному а, получим уравнение в полных диференциалах
dz = ax dx + — dy,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 260 270 280


Математика