Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.2
 
djvu / html
 

2?0 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 442 Пусть будут и и v его два независимых интеграла; из двух соотношений
и условия интегрируемости (44) можно исключить три разности
ду
d_y йд:
и мы придем к равенству
ди
~ ?
dv ?~~
Q /?
Следовательно, существуют две таких функции X и щ что одновременно будет.
Р = Х — + 11 —, ид: djT 'dj/ dj/ dz d2
и мы можем представить данное уравнение (43) в виде:
X du + ц rf» = 0.
Но мы видели выше, что если уравнение (43) содержит только два диферен-циала, то отношение — должно зависеть только от переменных и и р; таким образом мы пришли к диферёнциальному уравнению между и и о*.
* Метод Бертрана имеет простую геометрическую интерпретацию. Пусть оси координат прямоугольные, и пусть V— вектор в точке х, у, г с компонентами Р, Q, R. Всякая, .интегральная поверхность S, проходящан через точку М х, у, Z) пространства, норм 1льна вектору V в этой почке, и и6р.,тно, всякая поверхность, нормальная в каждой точке вектору V, есть интегральная поверхность уравнении (43). Рассмотрим, кроме того, Вихревой вектор т с началом в точке х,у, z, троскции которого на оси координат равны
d'
dz
линией вихря мч называем линию, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вихревого вектора, а поверхностью вихрей JJ — пов;охноо>, образованную лин иямн вихрей, или4, иначе, пов.-pxHocib, касательная п >ос|>ость к которой в к |Ждои точке содерлс иг вихревой вектор (§ 438). Тогда условие и .-.те рнруеиостн (44) означает, что вектор (Р, Q, R) а вихревой вектор г, выходящие из одной и той же точки, взаимно перпендикулярны. Если это условие вы.ы uieHj, то, очевидно, нскомыг поверхности ^ оудут поиерхностями вихрей. Метод Бертрана и состоит в том, чтобы сначала найти на 'бол^е общие поверхности вихрей, а затем выбрать произвольную функцию, ог которой зависят поверхности ^}, таким образом, чтобы они были нормальны в каждой точке вектору (Р, Q, R).
Эта интерпретация позво >яет слова найти условие интегрируемости. Действит.'льно,. очевидно, что поверхности 5 могут быть определены следующим свойством: интеграл
/ = J Р dx + Q dy + К dz,
взятый по произвольчому контору (замкнутому или нет — безразлично), лежащему на йоверх-н сщ S, раве i нулю. С доугой стороны, поверхности вихрей ? обладают тем свойством, что тот же самый интегрлл, взятий по замкнутому Koniypy на J, равен нулю. Действительно, в силу формулы Стокса. для этого достаточно (т. I, § 132), чтобы в каждой точке ? мы имели:
где о, р, i — направляющие коси усы нормали. Но это условие обозначает, что направление' век ора т лежит в касательной плоскости к поверхности. Отсюда очевидно, что всякая поверх-иос/ь S есть тоже поверхность вихрей. Итак, если через каждую точку пространства проходят некоторая поверхность 5, условие (44) до жно удовлетворяться тождественно, так как карательная плоскость к 5 перпендикулярна к вектору (Р, Q, К).

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 250 260 270 280


Математика