Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.2
 
djvu / html
 

220 ГЛАВА XXII. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ § 439
Рассмотрен теперь общий случай конгруэнции, опре_еляемой двумя уравнениями произвольного вида:
U(x, у,- г, а, *) = 0, V(x, у, z, а, Ъ) = 0. . (21)
Если мы установим между параметрами а и b соотношение произвольного вида <р(а, и) — О, то получим уравнение поверхности S, образуемой линиями Г конгруэнции, если исключим а и b из уравнений (21) и соотношения у=^0. Какова бы ни была функция ф, все эти поверхности и в этом случае удовлетворяют одному и тому же уравнению в частных производных первого порядка. Чтобы получить это уравнение, можно поступать следующим образом. Три уравнения,
?/=0, V=0, определяют три неявных функции z, a, b независимых переменных х и у, причем, так как третье содержит только а и Ь, то
. (23)
^ '
, у)
С другой стороны, диференцируя два первых уравнения (22) по х и у, мы можем вывести из получаемых соотношений выражения производных да й^ . йа йб '
дх ' йлг ' ду ' йу Ч6ре3 *v У' Z' P' Ч> а' "Ричем Р> 9 входят в эти выражения линейно; внося полученные выражения • производных в определитель (23), мы придем к новому соотношению:
* (х, У, г, р, q, а, Ь) =-0.
Остается только исключить а и b из этого соотношения и двух соотно-шен и (21), чтобы притти к уравнению, содержащему только х, у,
Z> P' q: Ф(*. У, z, р, ?) = 0; (24)
это — диференциальное урав» ение всех поверхностей, образуемых линиями конгруэнции. Было бы нетрудно убедить'ся из самого способа получения этого уравнения, что оно распачается на несколько уравнений первого порядка относительно р и q; но это вытекает из самого смысла этого уравнения. Предположим, например, что через точку М пространства преходят т лик- и конгруэнции; пусть будут ?>,, D2, . . . , Dm касательные прямые к этим линиям в точке М. Всякая поверхность, образуемая лин ями конгруэнции и проходящая через точку М, должна содержать одну из т линий этой конгруэнции, проходящих через точку т, и следовательно, касательная плоскость в точке М должна проходить через одну из прямых ?>:, D.,, . . . , Dm. Пусть будут Р,, Qit Rt направляющие параметры прямой Dt Так"м образом всякая поверхность, образуемая линиями конгрузнции, должна удовлетворять одному из т уравнений
(' = 1,2 ..... «), , (25)
и левая часть уравнения (24) совпадает, до множителя, не зависящего от р и q, с произведением т линейных множител и Ел, Е2, ... , Ет. Заметим при этом, чтот вообще, невозможно разделить аналитически эти т 'множителей.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 240 250 260 270 280


Математика