Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.2
 
djvu / html
 

210 ГЛАВА XXI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 436
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Найти, имеются ли особые интегралы у следующих диференциатьных уравнений:
т ) у ~ ° + **>у ~ и = а
[Серре,] а _ уЗу' 4- а*х = 0.
_ _ [Шлбмильх.]
У» — 2дг УГУ + 4.У У~у = 0.
[Буль.] 0*У _ yja_ 2*у(1 + У2) = 0.
[Уэль.] 2*(14-У»)-(л:У+.у)« = а
[Муаньо.]
2*. Доказать, что уравнение //(.г, _y) = 0, получак щееся от исключения у из
двух соотноше! ий F (х, у. У) = 0, . - — | -- .у = 0, представляет место точек
олг dy перегиба интегральных кривых.
Пользуясь пгербразованием взаимными полярами, вывести отсюда теорему § 433 относительно места точек возврата интегральных^ кривых.
[Дарбу, Bulletin des Scitnces maihematiques, т. IV, 1873.]
3. Найти особые интегралы системы диференциальных уравнений
у =^ ху' + У2 + г', г — г'х + у' г".
[Серре.]
4. Исследовать, имеет 'ли диференциальное уравнение второго порядка
особые интегралы, и найти зти интегралы.
[Л а г р а н ж, Oeuvres, т. X., стр. 233.] [Заменить это уравнение системою двух уравнений первого порядка.]
5*. Дано диференциальное уравнение второго порядка
F(x, У, У\ У>) — Ъ

исключая у" из этого уравнения и из соотношения — =0, мы получим дифе-
йу
ренциальное уравнение первого порядка Р (х, у, у') = 0, интегралы которого обладают, вообще, следующим свойством: через каждую точку М любой из этих интегральных кривых С проходит интегральная кривая уравнения F=Q, имеющая в точке Л! точку возврата второго вида, причем касательною в точке возврата служит касательная к кривой С в точке М. [American Journal of Mathematics, т. XI, стр. 364.)
6. Вывести свойст-а функции ного уравнения -- 1 — — = 0, представленного в алгебраическом виде ху = С.
Та же задача для функции igx; сначала для этого найти алгебраический общий интеграл диференциального уравнения
dx dy_
~"
7*. Дано диференциальное уравнение первого порядка y'-=R(x, у) где R (х, у) — рациональная .функция от у, коэфициенты которой суть аналитические функции от х; предположим, что уравнение имеет общий интеграл вида:

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 230 240 250 260 270 280


Математика