Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.2
 
djvu / html
 

200 ГЛАВА XXI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 433
случае прежде всего очевидно, что кривая (у) есть интегральная кривая уравнения (41). Кроме того, это — интеграл, к которому совершенно не применима основная теорема Коши, какую бы точку на кривой (у) мы ни взяли для определения начальных значений переменных х и у. В самом деле, если за начальные значения мы возьмем точку (ха, у0) кривой (у), то уравнение
F(x, у, У) = 0
имеет .два корня, стремящихся к у0', когда \х — х0 1 и \у—у0\'стремятся к нулю, но эти оба корня не будут, вообще, правильными функциями переменных х и у вблизи значений х0, у0, и мы не можем здесь применить теорему Коши. Получающийся таким образом интеграл называется особым интегралом. Теоретически разыскание особых интегралов не представляет никаких трудностей; в самом деле, для этого достаточно исследовать, удовлетворяет ли диференциальному уравнению (41) кривая, представляемая уравнением (43), а для этого надо только выполнить исключение неизвестных из двух уравнений. Может случиться, что уравнение (43) представляет совокупность двух различных кривых, из которых одна есть особый интеграл, а другая — место точек возврата интегральных кривых.
Если кривая (у) есть особый интеграл, то через каждую точку этой 'кривой проходит, вообще, другая интегральная кривая, касательная к кривой (у). Возьмем начало координат в какой-нибудь точке кривой (у); мы уже зн.;ем один интеграл уг уравнения (45); это особый интеграл, для которого одновременно
уг' = Р(с, у,), Р*(х, уг) = Q(x, у,). (48)
Полагая, как выше, у=уг-\-г, мы попрежнему можем представить данное уравнение в виде (46i; но в этом случае функция у0(х) равна нулю, так как 2 = 0 должно быть интегралом этого нового уравнения. Так как ,все остальные предположения остаются в силе, то функция 0(jf) не равна нулю при x = Q, и, полагая в уравнении (46) z = uz, мы придем к уравнению, все члены которого имеют множитель и. Разделив на и, будем иметь диференциальное уравнение:
2и'= и [0 (х) + и^ (х,-\-.. ., (49)
к которому можно применить общую теорему Коши. Так как функция 0(x) не равна нулю при х = 0, то оба значения корня голоморфны при х — 0, и = 0. Следовательно, уравнение (49) имеет два интеграла, голоморфных в области начала координат и обращающихся в нуль при х = 0; нетрудно убедиться, что эти два интеграла получаются один из другого заменою и на — и. Следовательно, уравнение относительно у имеет, кроме особого интеграла, еще другую интегральную кривую:
проходящую через начало координат и касающуюся в нем кривой (у). Но между этими обоими интегралами есть существенная разница. В самом деле, к уравнению (49) можно приложить общие теоремы § 387. И интеграл этого уравнения, обращающийся в нуль при х = 0, принад-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 220 230 240 250 260 270 280


Математика