Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.2
 
djvu / html
 

20 ГЛАВА XVIII. ДИФЁРЁНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 368—369
П р и л о ж е н и е. Рассмотрим семейство кругов, лежащих водной плоскости и зависящих от одного переменного параметра. Пусть будут a, b, R координаты центра переменного круга в прямоугольных координатах и его радиус; положим, чго а, Ь, R суть известные функции переменного параметра а. Найдем кривые, пересекающие каждый из этих кругов под известным углом V, постоянным или представляющим данную функцию от а. Координаты каждой точки М круга С с центром (а, Ь) и радиусом R можно представить формулами:
лг = а + /?:оьв, у— b + Rsinb,
где 9 есть угол между радиусом, проведенным в точку М, и направлением Ох Задача приводится к определению этого угла в в функции параметра а таким образом, чтобы линия, описываемая точкою М, пересекала круг С под углом V. Таким образом диференциальное уравнение задачи есть
заменяя dx и dy их значениями, будем иметь после приведения:
rfO К (fa + Ь< °°S 9 ~ "' Si" 8 ~~ Ctg V(-K' + a' C°S в + Ь' Si" 9) = °'
где a', b', R' суть производные от а, Ь, R по а. Взяв за новое переменное
в t—ig-^-, получим уравнение Риккати:
' '
— 0. (29)
Следовательно, достаточно знать, одну "траекторию, чтобы получить все остальные двумя квадратурами.
Рассмотрим частный случай, когда траектории ортогональны; тогда угол V будет прямым, и его котангенс равен нулю. Если, сверх того, мы предположим, что центры рассматриваемых окружностей лежат иа прямой линии, то мы без всяких вычислений знаем два частных интеграла уравнения (29), так как линия центров есть одна из искомых ортогональных траекторий, и она пересекает каждый круг в двух точках. Негрудно проверить, что в этом случае интегрирование приводится к одной квадратуре, так как, взяв линию центров за ось Ох, мы приведем уравнение (29) к виду:
R*-a4 = 0.
da
369. Уравнения, не разрешенные относительнр у'. Во всех предыдущих случаях мы предполагали, что диференциальное уравнение решено относительно у'. Рассмотрим теперь диференциальное уравнение первого порядка F(x, у, у') = 0 общего вида. Пусть будет S поверхность, представляемая уравнением F(x, у, z) = 0, которое мы получим, заменяя в предыдущем уравнении у' через г. Всякому интегралу .У = /(.*) данного диференциального уравнения соответствует кривая Г, представляемая уравнениями:
.у = /(*), z=*f(x); (Г)
она лежит на поверхности S, так как
F[x, f(x), f(x)] - 0.
Но линия Т не может быть произвольною линиею поверхности 6'; в самом деле, вдоль линии Г количества у и z суть функции от дг, удовлетворяю-

 

1 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280


Математика