Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.2
 
djvu / html
 

180 ГЛАВА' XXI. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 428
II. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ НЕКОТОРЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
428. Особые точки интегралов. Те разложения в ряды, посредством которых мы доказывали существование интегралов системы аналитических диференциальных уравнений, позволяют вычислять эти интегралы только внутри круга сходимости. Но мы заметили вообще (§ 337), что если эти разложения найдены, то этого достаточно, чтобы можно было считать эти функции определенными во всей области их существования. Рассмотрим для определенности алгебраическое диферёнциальное уравнение первого порядка
F(x,y,y') = 0, (21)
где F есть целый многочлен относительно х,у,у'. Пусть будет (х , у0) система значений, при которой уравнение F(x0,y0,y0') = 0 имеет простой корень у0'; если х и у стремятся соответственно к х0 я уог то уравнение (21) имеет один и только один корень У, стремящийся к _у0', и этот корень y'=f(x,y) есть правильная функция переменных х к у ,вблизи значений х0, у0. Следовательно, уравнение (21) имеет голоморфный интеграл, принимающий при х = х0 значение у0, причем его производная принимает при х = х0 значение у0'. Этот интеграл определен разложением в целый ряд только внутри некоторого круга С0 с центром в точке х0 и вообще конечного радиуса, но мы можем продолжить аналитически эту функцию вне круга С0, и эта функция будет удовлетворять уравнению (21) во всей области.ее существования. Заметим, что можно воспользоваться самим уравнением (21|, чтобы вычислить коэфициенты различных рядов, применяемых в методе аналитического продолжения; если в, какой-нибудь точке хл круга С0 рассматриваемый интеграл равен уг> то его производная равна одному из корней _у/ уравнения F(x-l, ул, у') = 0, и, диференцируя это уравнение последовательно любое число раз, мы можем отсюда найти значения всех других производных.
Таким образом всякое диферёнциальное уравнение первого порядка определяет бесконечное множество аналитических функций (зависящих от произвольного постоянного). Вообще, это будут трансцендентные функции, которые нельзя выразить через элементарные трансцендентные функции; тем более это верно для функций, определяемых алгебраическими диференциальными уравнениями второго иаи высших порядков. Изучение свойств этих новых трансцендентных функций и их классификация составляют предмет аналитической теории диференциаяьных уравнений.
При изучении диференциальных уравнений можно преследовать две различные цели. Мы можем или искать необходимые и достаточные условия того, чтобы уравнения данного вида интегрировались в уже известных функциях; или, напротив, мы можем искать алгебраические диферен-циальные уравнения, которые определяли бы трансцендентные функции, неприводимые к известным элементарным трансцендентным функциям^ и имели бы некоторые определенные характерные свойства, например были бы однозначными или мероморфными и т. п. Какова бы ни была наша главная цель, во всяком случае весьма важно определить, какие особенности могут иметь интегралы .данного диференциального уравнения. Так, особые точки интегралов личейных уравнений неподвижны; на-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280


Математика