Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.2
 
djvu / html
 

160 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЁНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 420
решается отысканием системы частных, интегралов вида:
= а,*"», уг = W, .... уп = а,/* (133)
где а,, а2, . . . , ая, г — неопределенные постоянные коэфициенты, которые следует определить. Мы приходим, таким образом, к уравнениям:
a«i«i + «Ч2а2 + • • • + (<*« + 0 а„ == О,
которые должны иметь решения, не все равные нулю. Постоянная г должна быть,- таким образом, корнем характеристического уравнения:
«22+ Г • • • а*п
ая2 ,..апп-\-г
:0. (135)
Обратно, всякому корню г этого уравнения соответствует но крайней мере одна система решений уравнений (134): -а,, а2,..., ая, где не все а.1 равны -нулю, и следовательно, система интегралов вида ( 1 33) уравнений (132). Если характеристическое уравнение имеет п различных, корней -/-j, г2, . . . , гя, мы получим таким способом п систем частных интегралов. Эти системы различны; действительно, в противном случае мы имели бы соотношение вида:
с постоянными коэфициентами С,, С2, ... , Ся, из которых по крайней мере один отличен от нуля, а мы видели (§ 405), что такое соотношение невозможно.
Если г, есть кратный корень порядка р характеристического уравнения, то уравнения (132) допускают р различных систем интегралов вида:
У1 = е*" Р, (х\ УЪ = е" Я, (*),...., у„ = ** Р„ (*),
где Яа, Р2, .... /*„ — многочлены степени не выше п — 1, зависящие от р произвольных постоянных.
Теорема доказана для р = \, поэтому достаточно показать, что, если она верна для корня кратности /»—•!, то она будет верна и для корня кратности р. Для доказательства мы можем предположить, что г,=0; действительно, если заменим _у, через eTtXzi\-to коэфициенты atll(i=fck) не изменятся, а коэфициенты ац заменятся через %,-f- rr
Характеристическое уравнение новой системы будет /=Ч/--|-/-,) = 0; оно допускает г=0 в качестве кратного корня порядка .р. Предположим что мы заранее сделали это преобразование. Уравнения (132) допускают частную систему интегралов:
где а:, а2, ..., ап — постоянные, не все равные нулю. Допустим для

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280


Математика