Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.2
 
djvu / html
 

150 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 415-416
уравнения было выполнено Эрмитом и послужило точкой отправления для предыдущей теории. Общий интеграл уравнения Ламе есть мероморфная функция. В самом деле, единственными критическими точками являются начало координат и точки 2/иш -f- 2/wV. В области начала координат интегралы уравнения—правильные, и корни характеристического уравнения (74) суть r' = — n, r*= n + 1. Их разность есть нечетное целое число, а коэфициент при .уесть четная функция; следовательно, выражение общего интеграла не содержит логарифмического члена (см. выноску в § 412).
416. Уравнения с периодическими коэфициентами. Во многих важных. вопросах механики встречаются линейные уравнения с периодическими .коэфициентами; мы укажем здесь кратко их основные свойства.
Пусть будет
S+*^f...+«-o (ice)
линейное уравнение, все коэфициенты />4, ...,/>„ которого суть н.-прерывные функции действительного переменного t, имеющие период ш, который мы всегда
можем предположить положительным. Если интегралы yt (t), yt (t).....yn(t)
образуют фундаментальную систему, то ясно, что у{ (t + ш), yt (t -J- о>), ..., Уп (* + ш) СУ7Ь также интегралы уравнения (106), так как это уравнение не изменяется при изменении t в t -f- ш; следовательно, мы имеем п соотношений вида:
yt (*+») = a/>yt (0 + aityt (0 + ... + alnya (t) (/=1,2.....п). (107)
Определитель- Н коэфициентов aitt отличен от нуля; в самом деле, повторяя рассуждения, приведенные в § 409, мы найдем, что этот определитель равенг
Н=е о . (108)
Формулы. (107) определяют линейную подстановку с постоянными коэфи-циентами, определитель которой не равен нулю. Следовательно, мы приходим к такому же исследованию, какое было подробно выполнено в § 409—411; но здесь.^вместо обхода комплексного переменного х в прямом направлении вокруг особой точки а, переменное t описывает отрезок действительной оси, имеющий длину ш. Из этого исследования вытекает, что всегда можно выбрать фундаментальную систему интегралов таким образом, чтобы формулы (107) приняли простой канонический вид. Составление такой фундаментальной системы прежде всего зависит от решения характеристического уравнения
•ач — * яи ... о,п
a3i д2а—я . ; . а$п __. /1по\
= 0, (109)
•** ••• ••• •••
все корни которого отличны от нуля, так как их произведение равно определителю п, значение которого мы только что нашли. Если п корней этого уравнения различны, то существует такая фундаментальная система интегралов, что формулы (107) принимают вид:
yt(t + о) = siyi (t), ... , уп (t + ш) = 8„уп (t). . (110)
Если уравнение (109) имеет кратные корни, то всегда можно найти фундаментальную систему интегралов, распадающуюся на несколько групп, причем р интегралов yi, У} ,..,, ур одной и той же группы удовлетворяют соотношениям вида:
j'i(/'+«>) = 5y1(0,
Чтобы найти выражения этих интегралов, определим сначала обший вид такой непрерывной однозначной функции/(/), чтобы было/(<+ш) = 5/(<), где
Множитель s не равен нулю. Пусть будет ч одно из значений количеств?. ? — Log $;

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280


Математика