Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.2
 
djvu / html
 

140 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 412
разложения функций Р и Q. После подстановки коэфициент при хг равен:
[г(г—\) -\- а„г + Ь0] с0.
Так как, по предположению, первый коэфициент CD не равен нулю, то за г должно взять корень уравнения второй степени:
?>(r) = r(r-l) + a0r+*0 = 0. (74)
Взяв для г корень уравнения (74), мы мпжем выбрать с0 произвольно; положим, например, ?0=±1. Точно так же, после подстановки найдем, что коэфициент при хг+Р равен
ср\(г -т-р](г + р - 1) + а„ (г+р) + М + F=cpD г + р +F,
где' F есть многочлен с целыми коэфициентами относительно CQ, cit . . . , cp_i,
а0, а{,...,ар, Ь0, Ь1..... Ьр. Полагая /7=1,2,3,..., мы можем вычислить
последовательно коэфициенты clt са.....ел, если только D (г-\- р) не равно нулю
при ка-ом нибудь значении целого положительного числа р, т. е. если в уравнении ('4) второй кор.нь г1 не разнится от первого корня г на целое положительное число Устраняя пока из рассмотрения этот случай, мы получим частный интеграл, представляемый рядом вида , 7,5), сходимость которого будет доказана ниже. Если уравнение ' (r = 0i имеет ива различных корня г. г", разность которых не равна целому числу, то, пользуясь предыдущим методом, мы получим два различных ингеграла, и общий интеграл представится в области начала координат формулою:
у = СХ<р (х) + СУ'Ф х), 75)
где »(х и if(x\— голоморфные функции, не обращающиеся в нуль при х = 0. П1 едыдущие рассуждения не применимы в том случае, когда или оба корня уравнения (/4) равны между собою, или их разность равна целому числу. Пусть будут г и г — р эти два корня, причем р есть целое положительное число или нуль. Мы попрежнему можем найти один интеграл вида yi = x''y 'х), где f х) — голоморфная функция, не обращающаяся в нуль при х = 0. Второй интеграл определится общею формулою (23 , которая здесь обращается в
Сумма 2V — р двух корней уравнения (74) равна 1 — я„; следовательно, мы имеем д0 = р + I — 2г, и потому
где S х) есть функция, правильная в области начала координат и не равная нулю при jtr = 0. Таким образом второй интеграл у3 имеет вид:
где Т (х) -т- голоморфная функция, отличная от нуля при х = 0
Пусть будет А коэфициент при хр в Т(х); легко видеть, что интеграл у.2
имеет вид
Log*,
где ф (х) обозначает новую функцию, голоморфную в области начала координат. Этот результат вполне согласен с общею теориею. В частном случае А может быть равно нулю; тогда общий интеграл не содержит логарифма в области начала координат. Следует, однако, заметить, что последнее обстоятельство никогда

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280


Математика