Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.2
 
djvu / html
 

13) ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИ *ЕРЁНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 40S
причем нижний предел z0 не должен обращать в нуль многочлен Q (г). При таком определении функции Z определенный интеграл (51) равен изменению вспомогательной функции
f
)
Pdz
V= ez* ZQ =
вдоль пути L. Следовател'но, чтсбы получить интеграл данного линейного уравнения (49), достаточно выбрать путь интегрирования L таким образом, чтобы эта функция V возвращалась к начальному значению после того как г опишет всю линию L, и чтобы при этом интеграл (50) имел значение конечное и отличное от нуля.
Пусть будут а, Ь, с,..., I корни уравнения Q(z) = 0. Так как интеграл
\ -^ dz имеет вид: R (г) + a Log (г — а) + . . . + X Log (z — Г), то вспомогательная функция V имеет вид:
V= e**+RM (г - d)*(z — ft)? . . . (z — [)\ (53)
где R(z) есть рациональная функция, знаменатель которой имеет своими -корнями только корни а, Ь, с,..., I уравнения Q(z) = Q, каждый с кратностью на единицу меньшею. Обозначим через Щ, 5В, (5, ... петли, описываемые переменным г; вокруг точек а, Ь, с, ... в прямом направлении, начиная от некоторого произвольного начал?, и через Э1_4, 58-!, (5_4, ... те же петли, описываемые в обратном направлении. Когда переменное г описывает петлю Щ, функция V получает множитель eftw, когда переменное г описывает петлю 9l_t, функция V полу чает множитель ?-*««; то же самое будет и для остальных петель. Отсюда следует, что если переменное г опишет последовательно петли Щ, SB, 2l_f, 5e_i, то функция V вернется к своему начальному значению. При этом определенный интеграл (50), взятый вдоль этого пути ABA_J$—i, вообще, не равен нулю; он дает частный интеграл уравнения (49). Соединяя попарно всеми возможными способами р
точек а, Ь, с ..... /, мы получим ^ . — ' интегралов уравнения (49), кою[ые
на самом деле приводятся к р — 1 различным интегралам.
Так как -р — 1 меньше п, то мы не получим этим приемом все п частных интегралов. Чтобы получить другие интегралы, найдем линии L, имьющие своими начальными и конечными точками некоторые! из особых точек а, Ь, с,..., I и обладающие тем свойством, что функция V стремится к нулю при .приближении г вдоль этих линий L к их начальным и конечным точкам. Если а есть простой корень уравнения Q (г) •= 0, то, как видно из (52) и (53), функция Z содержит множитель (г — а)*-*, и интеграл (50) может иметь конечное значение, когда один из концов линии L находится в точке а, только в том случае, если действительная часть количества а положительна; в этом случае V, действительно, стремится к нулю вместе с | z — а \. Если же а есть тп-кратный ко[ ень уравне-
ния Q (z) = 0, то рациональная функция R (г) содержит член вида: -. — _"'Г^_| »
и чтобы судить о модуле функции V в области точки г = а, достаточно исследовать модуль главной части
Пусть будет
г — а = р (cosip -\-i sin if), Am^i = \ (cos if \- 'i sin if), a = a' -\-a"l; модуль главкой части равен
g_a"9 pa /f1-"1 «S [ф - (т - ВД.
Чтобы V стремилось к нулю вместе с | z — а \, достаточно перемещать z

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280


Математика