Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.2
 
djvu / html
 

120 ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 404?
где e0> ait ...«„—какие-нибудь функции от х, и у', у",..., ум обозначают, последовательные производные от у. Определим функцию г от х таким образом,, Чтобы пгоизведение zF(y) было производною по х от некоторой другой функции, линейной относительно^ и его производных до (п — 1)-го порядка. Приме-н я к каждому члену произведения zF(y) общую формулу интегрирования по частям (т. I, § 84), получим:

(30)
где
Обозначим через Ч* (у, г) билинейное выражение относительно у и г и иж производных, стоящее в правой части выражения (30); тогда мы можем предстаг вить соотношение (.30) в сокращенном виде:
гР (У) - yd (z) = ? [Ф СУ, *)]. (32),
Таким образом при всех возможных видах функций у и г бином zF(y) — — yG(z) есть производная от Ф(.у, z). Если мы примем за г интеграл уравнения! (J(z) = 0, то произведение zF(y) представится как производная от выражения. такого же вида, линейного относительно у, у1 ..... y(n-dt и. следовательно, уравнение F(y)=^Q будет равносильно линейному уравнению (п — 1)'-го порядка
ФСл *)=с, ' (33)
которое получим, заменив в Ф неопределенную функцию г выбранным нами интегралом уравнения G(z) = 0. Уравнение G(z) = 0 есть также линейное уравнение л-ro порядка; оно называется сопряженным уравнением к уравнению /?(j/) = 0, а символический многочлен G (г)— сопряженным многочленом к многочлену Р(у).
Таким образом мы видим, что если известен один интеграл сопряженного уравнения, то интегрирование данного уравнения приводится к интегрированию линейного уравнения (п — 1)-го порядка с произвольным постоянным в правой. части. Если известны р независимых интегралов г(, z2, . . . , г- сопряженного уравнения, то всякий интеграл данного уравнения удовлетворяет р соотношениям вида
Ф (у, *,) = С„ Ф (у, х,) = С» .... Ф (у, Zp) = €„, (34)
где С\, С2, ... , Ср — постоянные. Из этих р уравнений можно исключить про» изводные У"-1)> j/n-a) ..... ул-/>+1); мы придем к линейному уравнению. (п — /?)-го порядка с правой частью, зависящей от р произвольных постоянных. С,, С2 ..... Ср. В частности, если р = п, т. е. если известен общий интеграл сопряженного уравнения, то можно решить п 'уравнений (34) относительно. у у' ..... у я- 0, и мы будем иметь общий интеграл данного уравнения совсем, без квадратур. /
Между интегралами обоих уравнений F(y) = 0, G(^) = 0 существуют замечательные соотношения, которых мы не будем здесь выводить*. Покажем только, что между этими обоими уравнениями существует взаимность, т. е. если G(z) есть сопряженный многочлен к F(y), обратно, то Р(у) есть сопряженный многочлен к G (г). В самом деле, пусть будет Fi(y) — сопряженный многочлен
* См. Дарбу, Theorie des surface;, т. П, кн. IV, гл. V. Си. также упражнение 17 в конце *вй главы. ' ' '"^

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280


Математика