Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.2
 
djvu / html
 

ПО ГЛАВА XX. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЁ УРАВНЕНИЯ § 400
где С, С], ... , Сп — постоянные, не равные все нулю; при этом козфи-циент С при_у наверное отличен от нуля, так как интегралы у:,у^, . . . , уп линейно различны.
Всякое линейное уравнение я-го порядка имеет бесконечное множество фундаментальных систем интегралов. Чтобы получить одну из таких систем, достаточно взять п таких интегралов, чтобы определитель, составленный из начальных значений этих п интегралов и их (п — 1) последовательных производных, не был равен нулю в точке л:,-,- отличной от особых точек. Пусть будет у{, у.2 ..... уп) первая фундаментальная система, тогда п интегралов К,, K2 Yn, определяемых формулами:
(i=l, 2 ..... п),
с постоянными коэфичиентами с//,, также образуют фундаментальную систему, если определитель D, составленный из я2 коэфициентов cik, отличен от нуля. В самом деле, по правилу умножения определителей имеем:
Из этой формулы следует, что отношение -т-
dx
одинаково
для всех фундаментальных систем; мы проверим это, составив это отношение. Припомним сначала формулу, выражающую производную от определителя:
а, Ь\ <:,... /,
flj &2 ?2 • • • /2
/„
?> =
В раскрытом виде этот определитель равен % ± а^Ь^с . , . 1^ , причем сумма распространяется на все перестановки (а, р, f , . . . , X) первых п чисел, а знак ± зависит от класса перестановки. Таким образом мы получим:
D' = 2 ± < Vr- • -А + (2 ^ ajbjc^. . -4) + . .
но ^ re fl Применим это правило к определителю \ у{. у$ , . . . ,уп}; первые п — 1 из получаемых определителей равны нулю, как имеющие по две одинаковых строки, и мы будем иметь:
у.,
,уп)
Л Уч ••• Уп
(я-2) («-2) J'i J'i! ("1 W У1 У-t (n-'l) ... • у. ("1 ••• Уп
ах
Эта формула верна, каковы бы ни были функции yt, y.2, ... , у„- если же эти функции суть интегралы уравнения (3), то мы можем заменить в последней (n) е — a"~1^ — — a и сделать такую же
строке j/4 через — aly~ — ... — anyt и сделать такую же замену для остальных элементов. Раскрывая полученный определитель по элементам последней строки и замечая, что некоторые определители будут иметь по две одинаковых строки, получим окончательно:

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280


Математика