Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.2
 
djvu / html
 

103 ГЛАВА XIX. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ § 393
Нам нужен только коэфициент при t правой части; мы его получим делением Он равен
^W---^ — — f— W— V дх \ду дх) dx \ду) \dx) '
С едовательно, символ бесконечиомалого преобразования продолженной группы при п = 1 будет:
Этот прием имеет вполне общий характер. Если коэфициент при t в разложении У"~1} равен к(х, у, у', ..., У"-"), то мы имеем для у{(п):
и коэфициент при t правой части равен
rfjc (л) / ^' I ^
dx \ дх ду
Таким образом мы можем вычислить последовательно бесконечномалые преобразования продолженных групп, получающихся из рассматриваемой группы, до любого значения п.
Мы будем говорить, что система диференциальных уравнений
допускает группу преобразований G с одним параметром, определяемую формулами (ЬО), если после замены переменных xlt х^, ..., х„ переменными
V ' V ' V '
•»! , л j , . . ., Хп
она превращается в систему
dx{ dx.j _ _dxn'
—у ' ---- у --- ••• --- у I I \LLL)
Л2 А2 Л„
тождественгую с прежней, каково бы ни было значение параметра а, т. е. если в системе (lit) Xj , XJ, ..., Хп' суть такие же функции от xt', x%', ..., хп', какими были в (ПО; Х{, Х%, —, ХЛО1 xt, х$, .... ха. Из связи, существующей между системою (110) и уравнением в частных производных
йдг, ддг.2 " дхп
следует, что для этого необходимо и достаточно, чтобы всякое преобразование группы G превращало уравнение
в линейное уравнение, равносильное уравнению А"(/) = 0, каково бы ни было
значение параметра а. Если f(x{, х2.....хп) есть интеграл уравнения X(f) = 0,
то f(xt', X3',..,,'ха') есть также интеграл уравнения А*(/) = 0 и, следовательно, после замены х', xj, .-., хп' их выражениями (100) /(*/, х% , .... х„') должно быть также интегралом уравтния X(f) — Q. Отсюда следует, что необходимым и достаточ ым условием тою, чтобы система диференциальных уравнений (110) имела группу преобразований G, будет условие, чтобы всякое пре-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280


Математика