Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.2
 
djvu / html
 

10 ГЛАВА XVIII. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 362
•«ие (3) есть диференциальное уравнение семейства рассматриваемых кривых. Мы видим, что порядок диференциального уравнения равен числу «произвольных постоянных, от которых зависит это семейство кривых. Ясно, впрочем, что из предыдущего рассуждения никак не следует, что уравнение (3) не имеет других интегралов кроме представляемых урав--ненисм (1); и действительно, как мы увидим несколько ниже, оно •может иметь и другие интегралы.
Все предыдущее неприменимо к исключительным случаям, когда, исключая и параметров ct из п + 1 соотношений (1) и (2), мы придем к нескольким различным соотношениям между х, у, у, у", . . . , У"'. Тогда можно было бы составить из них одно соотношение, не содержащее >W, так что рассматриваемое семейство кривых состояло бы из интегральных кривых диференциального уравнения, порядок которого ниже числа п. Это будет иметь место, если кривые зависят •на самом деле только от га — р параметров (р > 0); например, кривые, представляемые уравнением Г\х, у, <р (а, Ь)] = 0, только невидимому зависят от двух произвольных параметров а и Ь: на самом деле они зависят только от одного переменного параметра с = <р (а, Ь). Но понижение порядка диференциального уравнения может произойти также в другом случае; например, кривые, представляемые уравнением _у2 = Чоху + Ьх2, действительно зависят от двух различных лараметров а и Ь, однако, эти кривые всегда удовлетворяют уравнению у — ху'. Причина этого лежит в том, что эти кривые распадаются на две прямых, проходящих через начало координат, каждая из которых есть интеграл уравнения у = ху'.
ПРИМЕРЫ. Прямые, проходящие через данную точку (а1, Ь), представляются
уравнением
у — Ъ = С(х—а) (4)
« зависят от произвольного параметра С. Исключая этот параметр из предыдущего соотношения и соотношения у'~=С, мы непо редственно придем к дифе-ренциальному уравнению этой системы прямых:
у—Ь=у'(х — а). (5)
Обратно, уравнение (5) мзжно представить в виде:
У' = 1 . у — Ъ х — а'
•следовательно, всякий интеграл этого уравнения удовлетворяет соотношению Log (у — Ь) = Log (х — а) + Log С,
равносильному уравнению (4).
Совокупность прямых у = С{х -\- С2 , лежащих на плоское! и, образует семейство, зависящее от двух параметров; его диференциальное уравнение есть у" = 0. Обратное предложение получается непосредственно.
Окружности, лежащие в одной плоскости,
*2 + у^ + 2Ах + 2Ву-\-С = 0 (6)
образуют семейство, зависящее от трех параметров; следовательно, соответствующее дифесенциальное уравнение должно быть третьего порядка. Диференцируя трижды предыдущее соотношение, получим:
Зу'у" + уу"< + By"1 = 0. Исключая В из двух последних формул, придем к искомому уравнению:
= 0. (8)

 

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280


Математика