Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.1
 
djvu / html
 

SO ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 294-295
где функции Р(г) и Q(z) — правильные при г = а и Р(а) не равно дулю, тогда как а есть простой нуль для Q(z). Пусть будет Q(z) =
= (z—a)R(z); тогда вычет равен частному-^-~-, или, иначе, как это
R(a)
Р(а) нетрудно видеть, - - .
Ц/ ('3.)
III. ПРИЛОЖЕНИЯ ОБЩИХ ТЕОРЕМ.
Приложения последней теоремы бесчисленны. Мы дадим некоторые из них, относящиеся, главным образом, к вычислению определенных интегралов и к теории уравнений.
295. Различные замечания. Пусть будет /(г) такая функция, что произведение (г—a)f(z) стремится к нулю вместе с z—а . Интеграл •от этой функции, взятый вдоль круга у с центром в точке а и с радиусом р, стремится к нулю вместе с радиусом этого круга. В самом .деле, мы имеем:
тг т
•если Г; есть наибольшее значение модуля количества (z — а)/(г) вдоль круга YI т° модуль интеграла будет меньше, чем 2ят], и следовательно, -стремится к нулю, так как 7) само бесконечно-мало вместе с р. Точно так же можно было бы убедиться, что если произведение (z — a}f(z] стремится к нулю, когда модуль разности z — а неограниченно возрастает, то интеграл \f(z)dz, взятый вдоль круга С с центром в точке а,
при неограниченном возрастании радиуса этого круга стремится к нулю. Эти замечания сохраняют свою силу и в том случае, когда интеграл •берется не вдоль всей окружности, а только вдоль ее части, если только рассматриваемое произведение стремится к нулю вдоль этой части.
Это свойство, вообще, применяют к функциям f(z) вида — -—,
где показатель ц предполагается положительным, и ср (z) остается конечной и отличной от нуля при приближении z к а или к бесконечности. Для существования интеграла достаточно, чтобы было: в первом случае ^<1, а во втором д>1 (см. т. I, § 87 и 89).
Часто приходится искать верхнюю границу модуля определенного
U
ин еграла вида f(x) dx, взятого вдоль действительной оси. Предпо-
а
ложим для определенности, что а<^Ь. Выше мы видели (§ 276), что
ь
модуль этого интеграла не более интеграла I /(-*:) dx и, следовательно,
а
меньше, чем М(Ь — а), если М есть верхняя граница модуля функции f(x).

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270


Математика