Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.1
 
djvu / html
 

70 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 283-284
функции Р и Q имеют частные производные:
dP_v ЙР __ у *Q__Y *Q_y
^~~Л' йу — ' йдг ~ ' ду — Л' удовлетворяющие условиям:
дР_К? ^в_!!? йдг Ъу ' Ъу йлг '
следовательно, Р -f- t'Q есть голоморфная функция переменного zt производная которой равна X-\-lY, т. е. равна /(г).
Если функция /(г) разрывна в каких-нибудь точках области А, то по крайней мере одна из функций X, У также разрывна, и криволинейные интегралы Р(х, у), Q (х, у), вообще, имеют периоды, происходящие от петель, описываемых вокруг точек разрыв! (т. I, § 146).
? Следовательно, имеет периоды и интеграл I J(z)dz. Мы вернемся

к этим периодам впоследствии, когда подробнее ознакомимся с характером особых точек функции f(z).
z
Ограничиваясь пока одним примером, рассмотрим интеграл I — ; отделяя
действительную часть от коэфициента при /, имеем:
г х,у х,у х,у
(' dz _ С dx + tdy _ Г xdx-\- у dy . Г xdy — ydx . ~^~~] x + iy — J jfl + jfi +'J jfl+jfi •
1,0 1,0 1,0
Каков бы ни был путь интегрирования, действительная часть равш-^-
Что касгется коэфициента при Л то мы видели (г. I, § 146), что он имеет период 2я; этот коэфициент равен углу, на который поворачивав! ся радиус-вектор, соединяющий начало координат с точкою (х,у) Таким образом мы олятыюлучаем все различные значения функции Log (г).
II. ИНТЕГРАЛ КОШИ. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА. ОСОБЫЕ ТОЧКИ. ВЫЧЕТЫ.
Мы теперь изложим новые и важные результаты, которые Коши вывел из рассмотрения определенных интегралов, взятых между мнимыми пределами.
284. Основная формула. Пусть будет f(z) функция от z, голоморфная в конечной области А, ограниченной контуром Г, состоящим из одной или нескольких замкнутых линий, и непрерывная на самом этом контуре. Если х есть одна из точек области А *, то функция

Z — X
голоморфна во всех точках области А кроме точки z =. х.
* В последующем мы часто будем рассматривать одновременно несколько комплексных количеств. Мы будем обозначать их безразлично буквами х,г, а, ... Таким образом буква х, вообще, уже не будет более служить для обозначения только действительного переменного.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270


Математика