Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.1
 
djvu / html
 

60 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 277—278
мом деде, ниже будет доказано, что производная голоморфной функции есть также голоморфная функция (см. § 284) *.
278. Формулы Вейерштрасса и Дарбу. Доказательство формулы среднего значения (т. I, § 73) опирается на некоторые неравенства, которые не имеют места в случае мнимых количеств. Однако Вейерштрасс и Дарбу пришли в этом направлении к интересным результатам, рассматривая интегралы, взятые вдоль отрезка действительной оси. Выше мы видели, что и случай произвольного пути можно привести к этому частному случаю при некоторых весьма общих предположениях относительно пути интегрирования.
Пусть будет / определенный интеграл следующего вида:
/ =
где /(/), ф(^), ф (t) — действительные функции действительного переменного /, непрерывные в промежутке (a, J5'; очевидно, что из самого определения интеграла^следует, что
3
Для определенности предположим, что а<^$', тогда разность t — а представит длину пути интегрирования, измеряемую от начала этого пути, и общая формула для верхней границы модуля определенного интеграла будет иметь вид:
* Действительно, пользуясь этим последним свойством голоморфных функций, нетрудно доказать следующее предложение:
Пусть будет /(г) функция, голоморфная в конечной часта А плоскости(еключая границу). Тогда для всякого положительного числа е можно найп.и такое положительное число т\, чтобы было
если расстояние \h\ межРу точками г и г + Л области А меньше числа т).
В самом деле, пусть будет f(z) = P iQ(x,y), h = bx -\-iby. На основании выводов, полученных при определении условий существования единственной производной (§ 257), имеем:
/(2+ Л) -/(Z) [Р ЧХ+Ъ'ЬХ, у) - Р '(X, у)] &Х
f (,) _
л
[PJ (х + Д*, у + 8 Ду) - ру (ж,у)] Ду
Ах -{- I Ду
Так как производные Р х', PJ, Qx', QJ непрерывны в области А и на границе, то можно найти такое число т), чтобы в предыдущем равенстве модули коэфициеитов при Дл и Ду были меньшими --, если VДл;2 -f- Ду2 <^ т). Следовательно, неравенство (А) будет иметь место, если \h\ образом, если функция ср (и) голоморфна, то все модули j tj, | будут меньше данного положительного числа Е, если только расстояние между двумя соседними точками разбиения .оуги CND оудет меньше соответствующего числа 1\, и формула (2) доказана.

 

1 10 20 30 40 50 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270


Математика