Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.1
 
djvu / html
 

50
ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ
§ 274
при соответствующем выборе числа а можно выполнить конформнее преобразование области В на полуплоскость.
2. Пусть будет и = cos z. Предположим, что г описывает бесконечную полосу /?, или АОВА' (черт. 52). определяемую неравенствнми 0 ^л: ^ . найдем область, описываемую точкою u = X-\-Yi. Мы имеем здесь (§ 266):
—' ----- = cos x ch у,
У= — sinx
-е-У
(38)
: — 8Ш X Sh у.
Y
X' С'
X
о в
При изменении х от 0 до it количество Y постоянно отрицательно, и потому точка и остается в полуплоскости, расположенной под осью Х'ОХ. Следовательно, каждой точке области R соответствует точка полуплоскости и\ если точка z лежит на контуре области R, то Y=Q, так как один из двух множителей sinx или
shy равен нулю. Обратно, каждой точке полуплоскости и, расположенной под осью. ОХ, соответствует одна и только одна точка полосы R1-в плоскости z. В самом деле, если z' есть корень уравнения u = cosz, то все остальные корни содержатся в фор1-муле 2fe ± z'. Предположим, что у количества г' коэфи-циент при z положителен; тогда точкам полосы R могут соответствовать только корни 2&л + z', так как все точки 2&л— г'лежат под осью Ох~ Из точек Ikr. + z' всегда есть одна, которая лежит в полосе R. В самом деле, среди точек 2fe + z' всегда есть одна, абсцисса которой заключается между 0 и 2л; но эта абсцисса не может заключаться между л и 2л, так как в этом случае было бы sin х < 0 и соответствующее значение количества Y было бы положительным. Следовательно, эта точка лежит в полосе R.
Из формуя (38) легко видеть, что если точка z описывает внутри полосы R прямолинейный отрезок, параллельный оси Ох, то точка и описывает половину эллипса. Если же точка z описывает прямую, параллельную Оу, точка и описывает половину ветви гиперболы. Все эти конические сечения имеют общие фокусы в точках С и С' на оси ОХ с абсциссами — 1 и +1. 3. Пусть при действительном и положительном а
Черт. 52.
Полагая Z — X-\-iy, имеем:
Когда точка z описывает бесконечную полосу, ограниченную двумя прямыми у= + а, модуль \Z\ изменяется между 0 н + оо, a arg Z—между —=-
и + -S-. Следовательно, точка Z описывает полуплоскость, расположенную справа;
от оси OY. Обратно, каждой точке этой полуплоскости отвечает единственное значение х и единственное значение у, заключенное между — а и + а. Далее, если мы положим:
Z—1
/» ------ _________
u-z+r

 

1 10 20 30 40 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270


Математика