Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.1
 
djvu / html
 

40 ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ § 270
На практике, чтобы представить функцию F(slnz, cos z) в окончательном виде (25), не всегда бывает необходимо проходить через все эти последовательные преобразования. Пусть будет а значение переменного г, обращающее функцию F в бесконечность; простым делением
1 1
всегда можно вычислить коэфициенты при - , - - — , . . . в ча-
z — a (z — а.у
сти, обращающейся в бесконечность при z — а. (т. I, § 179). С другой стороны, мы имеем:
с,г
где P(z — а) — целый ряд; таким образом, приравнивая между собою
коэфициенты при последовательных степенях - в обеих частях
z — а
формулы (25), мы легко найдем Мг , М2, . . . , Мп .
Рассмотрим, например, функцию - — ; полагая ezi = t, е*'=а,
cosz — cos a
мы представим ее в виде:
lat
знаменатель имеет два простых корня t = a и t= —, и степень чи-
а
слителя меньше степени знаменателя. Следовательно, мы будем иметь разложение вида:
1 cos z — cos a
Чтобы определить М, умножим обе части равенства на z — а и
затем положим z = а; мы получим: М = —_^-----. Точно так же най-
3 2 sin a
дем N=-------. Заменяя М и N этими значениями и полагая z=0,
2 sin a
будем иметь С=0; таким образом, окончательная формула будет:
cos z — cos a 2 sin
Применим еще общий метод к целым степеням от sin z и cos z. Например,
/ gzi -|_ (>—zl\fn мы имеем (cosz)m=: I ----' ----- ) ; собирая вместе члены, равноотстоящие от
крайних членов разложения числителя, и применяя формулы Эйлера, получим' непосредственно:
(2 cos 2)« = 2 cos tnz + 2/я cos [(/я — 2) z] + 2 —^f Г"" cos [(т — 4) z] •+•...
Если т — нечетное, то последний член содержит cosz; если т — четное, то
ml
последний член разложения не зависит от z и равен
(to1.

 

1 10 20 30 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270


Математика