Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.1
 
djvu / html
 

30 ГЛАВА XIII. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ § 265 -266
Из первого соотношения получим: ^ = logp, причем знак log обозначает всегда неперов логарифм от положительного числа; что касается у, то оно имеет бесконечное множество значений, разнящихся между собою на кратное 2тс. Если Л = 0, то уравнение ех = 0 невозможно. Следовательно, уравнение ez=A, где А отлично от нуля, имеет бесконечное множество корней, заключающихся в формуле logp-f-' (ш + 2?п); уравнение е'—Q не имеет ни одного корня, действительного или мнимого.
Примечание. Можно было бы также определить ег, как предел много-
члена ( 1 -) — J при неограниченном возрастании т. Метод, которым пользуются
в алгебре для доказательства, что этот многочлен имеет пределом ряд е*, применим также и для мнимых значений г.
266. Круговые (тригонометрические) функции. Чтобы определить sin z и cos г для мнимых значений 2, мы распространим непосредственно на мнимые значения целые ряды, выведенные для действительного переменного; положим при г мнимом:
• — г *" i °
smz — - '
• V2'3 1;2-3-4-5 "" i (20)
С05,==1_^ + .ГЛ__... ,
Функции (20) суть целые трансцендентные функции, к которым прило-жимы все свойства круговых (тригонометрических) функций. Так, из формул (20) видно, что производная от sin г есть cos г, производная от COS2 есть —sin^; при замене г через —z функция sinz изменяется в —sin г, тогда как cos z не меняется.
Эти новые трансцендентные функции приводятся к показательной функции. В самом деле, рассмотрим разложение ег' и соберем вместе члены одинаковой четности:
-_ __ 1-21- 2-3-4 •'•"" \l Ь2. 3~"
на основании формул (20) последнее равенство можно представить в виде:
е*' = cos z -j- i sin z .
Изменяя г в — z, получим также:
e~2i = cos z — i sin z; из этих двух соотношений найдем, обратно:
е*'-\-е-" . е" — е~"
- т - , sin г= - - :
Это — известные формулы Эйлера, приводящие круговые функции к показательной. Из них видна периодичность этих функций, так как правые части соотношений (21) не изменяются при изменении z в 2-|-2тс. Возводя формулы (21) в квадрат и складывая, получим:
cos2 г -|- sin2 г = 1.

 

1 10 20 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270


Математика