Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.1
 
djvu / html
 

760 ДОПОЛНЕНИЕ
С другой стороны, вдоль С" имеем: \г — х \ > о. Следовательно, обозначая через L длину кривой С", находим при всяком n'^sN:
откуда и вытекает справедливость высказанного утверждения.
Нетрудно сообразить, что единственно необходимым в предшествующем до-* казательстве является предположение о равномерной сходимости на контуре интеграции, и потому теорема может быть высказана в еще более общем виде:
Если последовательность функций
/,(*), /2(z), .... /„(*),.-.. (1)
голоморфных в данной области D, сходится равномерно вдоль какой-либо замкнутой кривой С , внутренней к D, то эта последовательность сходится также и в области Г? , внутренней по отношению к С', и ее предел есть функция, голоморфная в названной области.
Теперь мы обратимся к исследованию одного еще более общего случая. Пусть /(г) — функция, голоморфная в данной области D, которую мы для определенности предположим ограниченной только одной замкнутой кривой С. Рассмотрим некоторую определенную точку z кривой С и какую-либо соседнюю с ней точку х области D. Когда точка х приближается каким угодно способом к г, оставаясь в области D, то может случиться, что f(x) или не стремится ни к какому пределу, <яли имеет конечный предел. Если в каждой точке z контура С существует предел f(x), то этот предел есть функция положения z на С, которое мы обозначим его криволинейной абсциссой s, отсчитываемой, например, в прямом направлении от какого-либо выбранного начала. Названный предел в таком случае оказывается некоторой функцией g(s), заданной в каждой точке контура С и притом периодической. В случае если эта функция g(s) переменного s, в свою очередь, непрерывна, то мы скажем, что f(z) непрерывна на контуре С. Теперь предположим, что функции последовательности (1) голоморфны в односвязной области D, ограниченной замкнутой кривой С, и принимают вдоль С значения, образующие некоторую новую последовательность непрерывных функций от 5:
и (s), л (4 •••> г„(4-.- (2)
Мы не делаем никакого предположения по поводу существования функций jfn(x) в области, внешней к контуру С, который может оказаться для некоторых из этих функций, и. даже для всех, естественной границей.
Если последовательность (2) равномерно сходится на С, то последовательность (1) должна сходиться равномерно во всей области D, включая и ее гпаницу.
В самом деле, предположим, что мы имеем:
в каждой точке контура С, при условии, что я Зг ДГ. Если х — произвольная точка области D, то, как известно, модуль голоморфной функции ga+p (х) — gn(x) остается меньшим максимального значения ее модуля иа границе D (§ 286). Следовательно, и в каждой точке области D будем иметь:
начиная с п :^ Л;.
Высказанное предложение есть непосредственное следствие только что написанных неравенств. Отсюда следует, что предел F(x) последовательности fn(x) есть голоморфная функция от х в области D и что, сверх того, предел функции F(x), когда х стремится к какой-либо точке контура С с абсциссой. 5, равен пределу G(s) последовательности gn(s) в этой точке, ибо равномерная сходимость имеет место в замкнутой области D. Что же касается . последовательности, составленной из производных порядка р функций /„(*)• т° можно лишь утверждать, что она сходится равномерно в любой области D', внутренней к D.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270


Математика