Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.1
 
djvu / html
 

240 ГЛАВА XVII, ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 355
где р— определенное положительное число; Выбрав числа риг так, чтобы они удовлетворяли предыдущим условиям, заменим круг С кругом Сг, Описанным в плоскости переменного х из точки лт=-0 радиусом, равным г, и круг С1 кругом СЛ описанным в плоскости перемен-•юго у из точки у = 0 радиусом, равным р. Дадим переменному х такое значение, чтобы было х [ ^ г, и будем перемещать переменное у по окружности С'; из самого выбора чисел г и р следует, что при этом
11 •будет |РKir» IQK"o"» и следовательно, \P-\-Q\<^l. Когда пе-
2i 2i
ременное у описывает в прямом направлении окружность С',- аргумент количества \--^-P-\-Q возвращается к своему начальному значению, тогда как аргумент множителя Апу" возрастает на 2лтг. Следовательно .(§ 300), уравнение F(XJ у) = 0, гЗе \х\^г, имеет п и только п корней, модуль которых меньше, чем р.
Все остальные корни уравнения F(x, у) = 0, если они существуют, имеют модули большие, чем р. Так как число р можно заменить сколь угодно малым числом, меньшим числа р, заменяя в то же время число г меньшим числом, попрежнему удовлетворяющим условию (25), то мы' видим, что уравнение F(x, .у) —0 имеет ровно п корней, стремящихся к нулю вместе с х.
Если переменное х остается внутри или на самой окружности Сг, то п корней у^, _у2, — , _уг, модули которых меньше, чем р, остаются в круге С', Эти корни не будут, вообще, голоморфны в круге Сг, но 1сякая симметрическая целая, функция этих п корней есть голоморфная функция от х в этом круге. Очевидно,- что достаточно доказать это для суммы Vik-\-yzk-{-...+ \'nk, где k^-целое положительное число.
Для этого рассмотрим двойной интеграл
где \х\<^г. Если ^'1 = ^, то по предыдущему функция F(x', у') не может обращаться- в нуль ни при каком значении переменного л', лежащем внутри или на окружности Сг, и единственным полюсом под-интегральной функции, лежащим внутри круга Cr, 6jUef точка х' = х. Следовательно, мы имеем:
(x, У)
*»' F(x, У) '
и следовательно,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 260 270


Математика