Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.1
 
djvu / html
 

239 ГЛАВА XVII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 350
ветственно, через ср (и) и ф (w), мы получим непрерывную функцию Р(к, w) переменных и и w, и 'сумма (6) принимает вид:
WA_,). (6')
k=l h=l
При неограниченном возрастании т и п эта сумма имеет пределом двойной интеграл Н Р(и, w)dudw, распространенный на прямоуголь-
ник, ограниченный прямыми и = и0, u=U, w = w0, w=:W. Этот двойной интеграл можно представить иначе в виде':
и w
I du \ P(u, w)dw,
и, w,
или, вводя криволинейные интегралы,
I du I X(u, v; w, t)dw. (7)
аЬ а'Ь'
В последнем выражении « и v обозначают координаты точек дуги ah, a w и t — координаты точек дуги а'Ь'. Предполагая, что точка (и, v) постоянна, будем перемещать точку (w, t) по дуге а'Ь' и вы-
числим криволинейный интеграл I Xdw, взятый вдоль этой дуги а'Ь'; в результате получится некоторая функция ^? (и, г>) от и, v. Затем мы вычисляем криволинейный интеграл I R(u, v)du, взятый вдоль дуги ab.
Последнее выражение (7), которое мы получили для предела суммы (6), применимо при всяких путях аЬ и а'Ь1. Для этого достаточно, как мы это уже неоднократно делали, разбить каждую из кривых аЪ и а'Ь' на дуги настолько малые, чтобы они удовлетворяли надлежащим условиям, сочетать совместно всеми возможными способами части дуги ab с частями дуги а'Ь' и сложить результаты. Поступая так со всеми суммами частичных произведений, аналогичными сумме (6), мы найдем, что 5 равно в пределе сумме восьми двойных интегралов, аналогичных инте-
гралу (7). Представив эту сумму через П F(z, z') dz dz', мы имеем ра-
венство:
= \ du \Xdw- Г dv (xdt— ( du ( Y di — ( dv Г Ydw-}-
ab а'Ь' ab а'Ь' ab a'V ab а'Ь'
-f/J du (vdw — i Г dv ^Ydt + i^da. (xdt + i*\dv Г Xdw; (8)
ab а'Ь' ab a'b' ab (a'V)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 250 260 270


Математика