Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.1
 
djvu / html
 

220 ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 345
F(z) — F(zec ) есть многочлен. Следовательно, функция F(z) не имела бы также особой точки на дуге aftpft, которую получим, повернув дугу aji вокруг на-
2for _ . , 2т: ,
чала координат на угол — ^- . Возьмем Л настолько большим, чтобы — было
меньше дуги ар. Положим последовательно: k = 1, 2, . . . , ch\ ясно, что дуги а,р,, а2р2, . . вполне покроют окружность. Следовательно, функция F(z) не имела бы ни одной особой точки на всей окружности, что невозможно (§ 335).
Этот пример представляет интересную особенность; -ряд (32) — абсолютно и равномерно сходящийся вдоль окружности С. Следовательно, он представляет на этой окружности непрерывную функцию аргумента б *.
346. Особенности аналитических выражений. Всякое аналитическое . выражение, например ряд, члены которого суть функции переменного г, или определенный интеграл, в который это переменное входит как параметр, представляет при некоторых условиях функцию, голоморфную вблизи каждого 'значения переменного z, при котором она имеет смысл. Если множество этих значений переменного г вполне покрывает связную часть плоскости А, то рассматриваемое выражение представляет функцию, голоморфную в этой области' А. Но если совокупность этих значений переменного z образует две или несколько 'различных отдельных областей, то может случиться, что рассматриваемое аналитическое выражение представляет в, этих различйых областях совершенно различные функции. Мы уже встретили пример этого в § 289. В самом деле, мы видели, как можно составить ряд с рациональными членами, сходящийся в двух криволинейных треугольниках PQR, P'Q'R' (черт. 57», сумма которого равна голоморфной" функции f(z) в треугольнике PQR и нулю в треугольнике F'Q'R'. Складывая два таких ряда, мы получим ряд с рациональными членами, сумма которого равна функции f(z) в треугольнике PQR и другой совершенно произвольной голоморфной функции ф (г) в треугольнике /-'(у'/?'. Так как эти две функции f(z) и <{. (z) произвольны, то ясно, что сумма ряда в треугольнике f-'Q'R' не имеет, вообще, никакого отношения к аналитическому продолжению суммы этого ряда в треугольнике PQR.
Вот еще весьма простой пример, аналогичный примеру, указанному
1 _ zn
Шредером (Schroder) и Таннри (Tannery). Выражение , , где и — _ _ 1 "Г z
оо
* Фредгольм (Fredholra) доказал также, что сумма ряда \\ апгп'' где а — положительное ко-
U
личество, меньшее единицы, не может быть продолжена за круг сходимости (Comptes rendus, 24 марта 1890). Этот пример приводит к следствию, которое стоит отметить. На окружности с радиусом, равным единице, ряд— сходящийся, и его сумма
Р(Щ = 2 ап [cos (я'6
есть непрерывная функция аргумента 6, имеюшая бесконечное множество производных. Однако эту функцию нельзя разложить в ряд Тейлора ни в одном промежутке, как бы мал он ни был. В самом деле, предположим, что в лромежутке (6„ — а, 60 + ") мы имеем:
f<«) = 4. -Mi <« -'<>) + ч- +л„<е-е„)"+...
Рид, стоящий в правой части, представляет функцию комплексного переменного 8, голоморфную в круге с, описанном радиусом, равным а, из точки 90. Соотношение 2 ='«^ преобразует круг с в некоторую замкнутую область л плоскости переменного г, содержащую дугу f окружности с радиусом, равным единице, заключающуюся между точками с аргументами 6„ — он 6„+я- Следовательно, в этой области А существовала бы голоморфная функция от 2, совпадающая вдоль дуги Y с суммою ряда S а"гпг, что невозможно, так как нельзя продолжить сумму этого ряда за

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 240 250 260 270


Математика