Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.1
 
djvu / html
 

200 ГЛАВА XVI. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ § 336
точке 2^ содержал часть пути L, заключающуюся между точками г и 2/+1. Можно также несколько изменять путь L, сохраняя те же концы; при этом конечные значения функций f(z), f (z), /'(г), ... не изменятся. В самом деле, круги С0, С,, ..., С покрывают некоторую часть плоскости, образующую род полосы, в которой лежит путь L; можно заменить путь L всяким другим путем L', идущим из точки 20 в точку Z и расположенным в той же полосе. Предположим для определенности, что мы должны были воспользоваться тремя последовательными кругами С0, Ср С3 (черт. 74). Пусть будет L' другой путь, лежащий в полосе, образуемой этими тремя кругами; соединим между собою точки т и п. Если мы идем из О в т сначала по пути Оагт, а потом по пути Опт, то ясно, что мы придем в т с одним и тем же элементом, так как в области, образуемой кругами С0 и С1? функция Черт. 74. голоморфна. Точно так же, если мы
идем из т в Z по пути ma.4Z
или по пути miZ, то в обоих случаях мы придем в точку Z с одним и тем же элементом. Следовательно, путь L равносилен пути OnmnZ, т. е. пути L'. Способ доказательства останется тот же самый, каково бы ни было число последовательных кругов. В частности, всегда можно заменить любой путь ломаною линиею *.
336. Особые точки.- Применяя предыдущий прием, мы можем встретиться с таким случаем, когда нельзя найти круга, содержащего всю оставшуюся часть пути L, как бы далеко мы ни продолжали операции; так будет, если ар есть особая точка, лежащая на окружности Ср_г, так как здесь мы должны будем остановиться. Если операцию можно продолжать неограниченно, и мы никогда не придем к кругу, содержащему всю оставшуюся часть пути L, то точки а_ -,, а , а +1, ... стремятся к некоторой предельной точке X пути L, которою можег быть или сама точка Z, или точка, лежащая между О и Z. Точка X есть также особая точ.«а, и нельзя вести аналитического продолжения функции f(z) вдоль пути L за точку I.- Но если X отлична от Z, то отсюда не следует, что сама точка Z есть особая точка и что нельзя; притти из О в Z другим путем. Рассмотрим, например, функции "\f\-\-z или Log(1 -f-z); здесь нельзя итти из начала координат в точку z = — 2 вдоль действительной оси, так как мы'не могли бы перейти особой точки 2 = —1. Но если мы будем перемещать переменное z • по пути, не проходящему через эту точку, то- ясно, что мы придем в точку z = —2 после конечного числа операций, так как все последовательные круги пройдут через точку z= — 1. Заметим, что предыдущее определение особых точек зависит от пути, проходимого пере-
* Рассуждеш» должно быть проведено несколько подробнее, если путь L имеет двойные точки, так как в этом случае полоса, образуемая последовательными кругами, может отчасти покрывать самой себя. Впрочем, здесь, по существу, нет никаких действительных затруднений.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 220 230 240 250 260 270


Математика