Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.1
 
djvu / html
 

170 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 327-328
где ч есть функция от «о и а/, определенная выше (§ 322). Функция ф(н) есть также нечетная целая функция, имеющая те же нули, как и <р (и). Первое из соотношений (56) оэращается в
О —5- (и -f- 2ш)'
ф(м+2ш) = -^2ш ,,(„) = -^<« + <и>ф(М). (58)
Далее, мы имеем:
, , - ,. 2ш й(й + 2ш')! -^ (« + »') , ч
?(ы + 2<о') = — д-гщ* « Т (и),
г ; ы"
или, принимая во внимание соотношение i)u> — 1)» = — :
(59)
Соотношения (58) и (59) тождественны с соотношениями, выведенными выше
Ф(и)
для функции си. Следовательно, частное — - имеет два периода 2<о и 2о>', так
<зи
как при нозрастании и на период оба члена этого отношения получают по одинаковому множителю. Так как обе функции имеют одинаковые нули, то это отношение равно постоянному; кроме того, коэфициент при и в обоих разложениях равен единице. Сле,сователько, мы имеем зи = ф(и), или
(60)
и функция аи выражена через функцию 6. Так как | q } < 1, то если аргумент v •получает действительные значения, ряд (53) сходится весьма быстро. Мы не будем развивать дальше этих указаний; их достаточно, чтобы видеть основное значение функции 6 в приложениях эллиптических функций.
III. ОБРАЩЕНИЕ. КРИВЫЕ ПЕРВОГО РОДА.
328. Соотношения между периодами и инвариантами. Всякой системе
ю'
двух комплексных чисел ш, со', отношение которых - не есть действи-
тельное число, соответствует вполне определенная эллиптическая функция $и, имеющая периоды 2м, 2со' и правильная при всяком значении переменного и, отличном от значений вида 2/жо -f- 2/я'о/, причем все периоды суть ее полюсы второго порядка. Функции ?и и аи, которые получаются из $и одним или двумя интегрированиями, также определены системою периодов (2<о, 2о>'). Когда необходимо указать эти периоды, можно пользоваться для трех основных функций обозначениями
;# (U I СО, Си'), ?(И|(0, 0)'), О (И ! (О, ft)').
Однако должно заметить, что систему (<о, о>') можно заменить бесконечным множеством других систем (и, и'), не изменяя функции $ и. В самом деле, пусть будут т, т',' п, rj такие целые положительные или отрицательные числа, чтобы было mtJ — /я'я = гЬ1. Полагая Q = /иа> 4- исо', Q'=z/n'' = :fc(mQ' — /и'й); ясно, что все периоды эллиптической функции $и •суть комбинации двух периодов 2Q, 2Q', совершенно так же, как и двух периодов 2<о, 2а>'. Две системы периодов (2ю, 2о>') и (2Q, 2Q') равносильны. Функция $(u\Q, Q') имеет те же периоды, те же по-.люсы с теми же главными частями, как и функция (р(«|а>, <о'), и их

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270


Математика