Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.1
 
djvu / html
 

ISO
ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§319
но надо брать только один полюс в каждом параллелограме. Действительно, достаточно было бы, например, переместить бесконечно мало вершину сети, лежащую в начале координат, чтобы ни один полюс рассматриваемой функции /(и) не лежал более на контуре параллело-грама. Когда мы будем интегрировать эллиптическую функцию / (и) вдоль контура цараллелограма периодов, мы всегда будем предполагать, что этот цараллелограм, если это нужно, смещен так, что функция/(и) не имеет полюсов на этом контуре. "Применяя общие теоремы теории аналитических функций, мы легко приходим к следующим основным предложениям:
1. Сумма Кычетов эллиптической функции, соответствующих полюсам, лежащим в одном параллелограме периодов, равна нулю.
Предположим для определенности, что функция /(и) не имеет ни одного полюса, лежащего на контуре ОАВСО. Сумма вычетов, соответствующих полюсам, лежащим внутри контура ОАВСО, равна
1
вс
причем интеграл взят вдоль контура. Этот интеграл равен нулю, так как сумма интегралов, взятых вдоль противоположных сторон, равна нулю. Например, мы .имеем:
2ч> 2ш'
f/(e)rf«=j!/(e)A«, ^f(u)du= f f(u)dui
ОА -О ВС 2и>4-2ш'
заменяя в этом последнем интеграле и через и -j- 2ш', получим/:
г> О
и= 1 f(u)du~— I* f(u)du.
2<и OA
Точно так же мы убедились бы, что сумма интегралов, взятых вдоль АВ и СО, равна нулю. Впрочем, это свойство можно непосредственно D видеть из чертежа (черт. 67). В самом деле, рассмотрим два соответствующих элемента интегралов, взятых вдоль ОА и вдоль ВС; в точках т и т1 значения функции /(и) одинаковы, тогда как значения du противоположны. Из этой теоремы следует, что эллиптическая функция f(u) не может иметь в параллелограме периодов только один полюс первого порядка. Эллиптическая функция не может быть ниже второго порядка.
2. Число нулей эллиптической функции, лежащих в параллелограме периодов, равно порядку этой функции (каждый из нулей считается столько раз, каков его порядок кратности).
Пусть будет /(и) эллиптическая функция; частное -у--- -=<р(и) е:ть также эллиптическая функция, и сумма вычетов функции <р (и) в парал-
Черт. 67.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270


Математика