Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.1
 
djvu / html
 

130 ГЛАВА XV. ОДНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ § 30»
которое, очевидно, само абсолютно и равномерно сходящееся в круге С с радиусом, равным R, и представляет в этом круге голоморфную функцию. Так как радиус /? может быть взят произвольно, и число v не зависит от этого радиуса, то это произведение есть целая функция GJ (г), имеющая корнями различные члены последовательности (1), и притом только их.
Если, сверх того, целая функция G(z) имеет нулем порядка р точ-
G(z)
ку 2 = 0, — частное есть аналитическая функция, не имеющая
во всей плоскости ни полюса, ни нуля. Следовательно, это есть целая функция вида е^(г), где g(z) — многочлен или целая функция, и мы имеем для функции О(г) выражение вида:
+00
0(г) = с*Ю-гР П (l — — )e n=l * ип '
Целую функцию ?(,г), в свою очередь, можно заменить бесконечным множеством способов суммою равномерно сходящегося ряда многочленов:
и предыдущую формулу можно еще представить в виде:
+ 00
множители этого произведения, каждый из которых обращается в нуль только при одном значении переменного z, называются первичными множителями.
Так как произведение (4) — абсолютно сходящееся, то первичные множители можно располагать в любом порядке или по произволу соединять их между собою. В этом произведении, когда установлен закон выражения числа v в функции от п, многочлены Qv(z) зависят только от соответствующих корней; но показательные множители esW не могут быть определены, если известны только корни функции G (г). Рассмотрим, например, функцию sinnz, имеющую простыми корнями все целые положительные или отрицательные числа. В этом случае ряд
—сходящийся; следовательно, можно взять v=l, и функция
где знак (') справа от II показывает, что указатель п не может иметь значения нуль*, имеет те же корни, как и siniiz. Следовательно, siniiz — esW G (z), но из предыдущего рассуждения мы не можем определить множитель efW. Ниже мы докажем, что этот множитель равен я..
* В случае если в какой-либо формуле это исключение должно быть принято во внимание мы напоминаем о нем. сопровождая знаком ' знак произведения или суммы. "

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270


Математика