Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.1
 
djvu / html
 

120 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ
19. Исследовать таким же образом определенный интеграл
Г__________rfip_________
J х — a -f- i/xi — 1 cos »
0
и вывести из результата формулу Лапласа:
А" =— Г "~KJ
(х + л/& — 1 cos ?)«+ *' о
где z = ±l, в зависимости от того, будет ли действгительная часть переменного х положительна или отрицательна.
20*. Вывести последнюю формулу, интегрируя функцию
_______ 1________
Z«+ 1 ]/Г — '2.XZ + ?2
вдоль окружности с центром в начале координат и неограниченно увеличивая радиус этой окружности.
2-to»
21*. Суммы Гаусса. Пусть будет Ts= e " (п к s — целые числа); обозначим через Sn сумму Та-\- Т{ -f- ... -\- Tri_i. Вывести формулу
I P "
Применить теорему о вычетах к функции f>(2)=-^-----. , взяв интеграл
вдоль контура прямоугольника, образуемого прямыми дг = 0, х •= п, y=-\-R, у — —R, присоединив к нему две полуокружности, описанные из точек х = 0, х = п радиусами, равными г, чтобы избежать полюсов 2 = 0, г = /г функции у (z);
затем неограниченно увеличивать число R.
22. Пусть будет f(z) функция, голоморфная внутри замкнутого контура Г,
содержащего точки а, Ъ, с...../; если а, р.....\ — целые положительные числа,
то сумма вычетов функции
относительно полюсов а, Ъ, с, ...,/ есть многочлен F(x) степени a + ^ + ...+Х—1, удовлетворяющий соотношениям:
F(b) = f(b), F'(b)=f'(b), ..., ЯР-«(»)=/(?-О(Ь),
При решении этой задачи можно исходить из соотношения:
1
(Г)
23*. Пусть будет f(z) функция, голоморфная внутри круга С с центром в точке а. С другой стороны, пусть будет а(, а.^, ... , ап, ... неограниченная последовательность точек, лежащих внутри этого круга, причем при неограниченном

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270


Математика