Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.1
 
djvu / html
 

110 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 305—306
Интеграл, взятый вдоль малой окружности, стремится к нулю вместе с г,
z— 1
так как произведение также стремится к нулю. С другой сто-
роны, когда z описывает эту малую окружность, корень меняет знак, и в интеграле вдоль отрезка аО должно взять для корня J/1 — х1 отрицательное значение. Следовательно, интеграл вдоль петли равея пределу интеграла
1— г
dx
о
когда г стремится к нулю, т. е. равен тт. Заметим, что значение этого интеграла не зависит от направления, в котором описывается петля, но мы возвращаемся в исходную точку с значением —1 для корня.
Если бы мы описали ту же петлю вокруг точки г = -)-1 при начальном значении для корня, равном —1, то значение интеграла вдоль петли было бы равно—тт, и мы вернулись бы в исходную точку с значением -+- 1 для корня. Точно так же мы увидим, что, описав петлю вокруг критической точки z = —1, мы получим для интеграла значения — тс или -f- it в зависимости от того, выйдем ли мы из точки z= 0 с начальным значением 4-1 или —1 для корня.
Если переменное z описывает последовательно две петли, то мы вернемся в начало координат с начальным значением -(-1 для корня, и значение интеграла вдоль обеих этих петель будет равно -f- 2п, О или—-2тг в зависимости от порядка, в котором описаны обе эти петли. Следовательно, четное число петель дает для интеграла значение 2оттг и приводит корень к его начальному значению -1-1. Напротив, нечетное число петель дает для интеграла значение (2/и-|~1)тг, и. конечное значение корня в начале координат будет равно —1. Отсюда следует, что значение интеграла F(z) содержится в одном из двух видов:
2/ятт 4- Л (2от + 1) п — Л
в зависимости от того, можно ли заменить путь, описываемый переменным, прямым путем с четным или нечетным числом петель.
306. Периоды ультраэллиптических интегралов. Точно так же можно изучить различные значения определенного интеграла
где Р (z) и R (z) — целые многочлены, из которых второй, R(z), степени п, обращается в нуль при п различных значениях переменного z:
Предположим, что точка! z0 отлична от точек elt ег, ..., еп; тогда уравнение u2=f?(z0) имеет два различных корня 4~ыо-и —"о- Пусть будет UQ начальное значение корня У/? (z). Если переменное z описывает какой-нибудь путь, не проходящий ни через одну из критиче-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270


Математика