Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.2 Ч.1
 
djvu / html
 

100 ГЛАВА XIV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПО КОШИ § 301
мента функции /(z) некоторое начальное значение. Интегрируя по частям, будем иметь:
/= { Log (г) Log [/(г)] }(Q- JLog (г) ^dz. (46)
С
где первый член правой части обозначает приращение произведения LogO)Log If (г)], когда переменное z описывает окружность С. Если начальное значение аргумента переменного z равно нулю, то это приращение равно:
(log/-4- 2га){Log [/(/•)] + 2м(л- «)} -log/-Log [/(/•)] = = 2м Log [/(/•)] + 2га (л — т)log г — 4(п — т)к*.
Чтобы вычислить определенный интеграл формулы (46), рассмотрим замкнутый контур Г, образуемый окружностью С, окружностью с, описанною из начала координат бесконечно малым радиусом р, и двумя бесконечно близкими краями ab, а'Ь' разреза, проведенного вдоль действительной оси от точки z = p до точки z = r (черт. 60). Мы предположим для определенности, что функция /(z) не имеет на этой части действительной оси ни полюса, ни нуля; в противном случае мы проведем разрез, образующий бесконечно малый угол с действительною осью. Функция Log (z) голоморфна внутри контура Г, и по общей формуле (40) мы имеем соотношение:
Г Log (z) ^||
ab С Ь'а'
Интеграл, взятый вдоль круга с, стремится к нулю вместе с р, так как произведение z Log (z) бесконечно мало вместе с р. С другой стороны, если аргумент переменного z равен нулю вдоль аЬ, то он равен 2г. вдоль а'Ь', и сумма двух соответствующих интегралов имеет пределом:
г
- j' 2s f-j^ dz = - ш Log [/(г)] + 2а Log [/(0)].
о Следовательно, остается
с
и формула (46) принимает вид:
/= 1т (п — т) log г + 1r.i Log [/(0)] — 2-г Log ^ — 4 (п - т) г*.
Чтобы вычислить интеграл вдоль круга С, можно положить z — ге'ч и изменять 9 от 0 до 2г.. Отсюда имеем — = id«; пусть будет f(z) = Re<&>, где R
и Ф - непрерывные функции от <р вдоль С. Приравнивая между собою коэфи-циенты при i в предыдущей формуле, мы получим формулу Иенсена (Jensen)*:
Г log/W» - log |/(0) | + log
о в которую входят только обыкновенные неперовы логарифмы.
* Acta Mathemaiica, т. XXII, стр. 359.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270


Математика