Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.1 Ч.2
 
djvu / html
 

50
ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
§ 171
171. Ряды для 1п(1-|-л:) и для (l-|-jr)'". Функция ln(l-f-*) непрерывна и имеет неограниченное число производных, если только х больше — 1. Производные ее имеют следующие выражения:
/"(*)=(-
/"'(*) = ;
1-2
Исследуем, при каких значениях х можно приложить к этой функции формулу Маклорена (2). Напишем сначала формулу в ее общем виде с остаточным "членом:
ряд
Остаточный член Л*л стремится к нулю только в том случае, если
х Т

будет сходящимся: это будет иметь место при значениях х, заключающихся между — 1 и -\-\, включая сюда и верхний предел -f-1. Предполагая, что переменное х заключается между этими пределами, возьмем остаточный член в форме, данной Коши:
_
— 6У(—
1-2... п (1 + Ъх)п+1
(1+бл:)"-1-1 '
или
Предположим сначала \х <С^- Тогда первый множитель х"*1 стре-
1—6 мится к нулю; второй множитель -----g— как при положительном, так
I -+- оi _
и при отрицательном лг меньше единицы, так как числитель меньше знаменателя: последний множитель остается конечным, так как он
меньше------:—• . Таким образом при неограниченном возрастании п
остаточный член Rn стремится к нулю. При л:=1 из предыдущего

 

1 10 20 30 40 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230


Математика