Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.1 Ч.2
 
djvu / html
 

40 ГЛАВА VIII. РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ § 166
— сходящийся, то и бесконечное произведение (37) будет сходящимся. В самом деле, положим, как выше:
"» = 0+«o)(l +«!)..'.(! + ««-!)«,,,
^ = 0 + Ц>) О + Ц) • • • Ч + Ц,-а) Ц,-
На основании предыдущего, если знакоположительный ряд 2t/,. сходящийся, то будет сходящимся и бесконечное произведение П О ~Ь ^)> а, следовательно, и ряд
' V0+Vi + -.. + ^+... (39)
Но, очевидно, что \vn\<^Vn; следовательно, ряд
— абсолютно сходящийся, и, как было замечено, сумма этого ряда есть предел произведения
при неограниченном возрастании числа п. При этих условиях произве-
+ 00
дение Г1(1-Ьмя) называется абсолютно сходящимся.
л = о
Абсолютно сходящиеся бесконечные произведения представляют особый интерес, как и абсолютно сходящиеся ряды, с которыми они имеют много общего. Так, в абсолютно сходящемся бесконечном прои ^ведении. можно произвольно изменять порядок множителей, не изм"няя произведения. Докажем сначала, что если дано абсолютно сходящееся бесконечное произведение, то для всякого полэжительного числа е можно найти такое целое число п, чтобы модуль разности между единицею и произведением любого числа множителей
был меньше е, если все указатели а, (5, . . ., \ больше п. В самом деле, выполняя в обеих частях умножение, можно непосредственно убедиться, что
и, следовательно,
1(1 +«.)(! +и„)...(1+Их)—
Так как ряд 2t/, — сходящийся, то можно взять число п настолько большим, чтобы сумма d/a -|- f/p -(-... -Ь f/x была меньше ln(l -t- E), если все. указатели а, (5, . .., I больше п. Следовательно, взяв целэе число п достаточно большим, можно сделать правую часть предыдущего неравенства меньшею всякого положительного числа е.
Заметим при этом, что отсюда вытекает следующее предложение: абсолютно сходящееся произведение не может быть равно нулю, если ни один из множителей не равен нулю. В самом деле, предположим, что ни один из множителей произведения не равен нулю; выбе-

 

1 10 20 30 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230


Математика