Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.1 Ч.2
 
djvu / html
 

230 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 254
Для доказательства этого предложения нужно показать, что диференциальное уравнение линий кривизны может быть представлено в виде:
(dpdy~dqdx)(\ +-р* +<р) + (р dy — q dx) (p dp + q dq) = 0. [Дарбу, Annales de fEcole Normale, 1884.]
17*. Формула Лагерра (Laguerre). Пусть будетЗ/?(АГ, у, 2) — О уравнение по7 верхности S; когда точка (х, v, .z) описывает кривую Г на этой поверхности, то диференциалы первых трех порядков удовлетворяют трем соотношениям (§ 24):
^+^,+^, = 0. (,)
dx dy Zz { '
0. (2)
W + dx dy dz \ dx I \dy I \ dz I
+ (^ + ^ + frf,)(3U, (3)
\dx dy dz '
из которых первое выражает, что существует касательная плоскость, а второе эквивалентно теореме Менье. Чтобы дать геометрическое истолкование третьему,
dF dF dF ,
мы можем заменить в нем — , — , — направляющими косинусами л, ц, v нор-
дх dy dz мали. В самом деле, мы имеем:
— = Ш, — = ця, — dx dy dz
где мы положили
принимая во внимание соотношение (2) можно написать уравнение (3) так:
+ ц d*y + v rf3z + 3 [Л d*x + dy. d*y -f- rfv diz] = Ф (jc, j/, z, dx, dy, dz);
Ф есть кубическая форма от dx, dy, dz, с коэфициентами, зависящими от х, у, г. Разделив на dsf, заключаем отсюда, что выражение
ds3 ds1 fts1 ds dsft ds dsfc ds ds%\
сохраняет одно и то же зн-чение в точке поверхности для кривых, лежащих на поверхности и касающихся друг друга в этой точке; этот результат можно было бы также п о л у чить, диференцируя формулу (7) § 233 и принимая во внимание выражения для D, D', D".
Заменим теперь -т-г , -^ ,... их выражениями по формулам Френе (§ 222). Предыдущее выражение примет вид:
1 dR л sin 9 3 / , dl dy. , , <
где через и обозначен угол между нормалью к поверхности и главною нормалью кривой. С другой стороны, диференцируя соотношение
cos 8 = Хо' + $' + *т'.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 231 232 233 234


Математика