Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.1 Ч.2
 
djvu / html
 

220 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 249 - 250
налагается на область П плоскости, внешнюю отжсительно круга гадиуса /?; но развертывающаяся поверхность, образованная касательными во всех точках спирали, покрывает область II бесконечное число раз.
250. Геодезическая кривизна. Геодезические линии. Пусть будет Г некоторая кривая, лежащая на поверхности S, и f — ее ортогональная проекция на
касательную плоскость к S в точке М кривэй Г. Кривизна — этой плоской
кривой в точке М называется геодезический кривизной кривой Г. Укажем важнейшее свойство этой величины: если даны две налагающие^ поверхности S и S' и две соответствующие кривые Г и Г' на них, то геод>зические кривизны этих линий в coo'i ветствующчх точках равны.
Предположим, что кривая Г определена на своей поверхности уравнением в криволинейных координатах w = II(«). Для доказательства высказанной теоремы достаточно пока;ать, что радиус геодезической кривизны pg выражается исключительно с помощью коэфициентов Е, F, G.
Выберем на 5 такую систему криволинейных координат, чтобы кривая Г имела уравнение v = v0. Для определения радиуса геодезической кривизны Г в точке /И0 (г/о. ^о) предположим, что начало координат взято в точке /И0, что касательная плоскость совпадает с пло:костью ху, а касательная к Г—с осью Ох. В этой системе координат мы имеем:
Ой/о \ Радиус кривизны кривой f — проекции Г на плоскость хОу — в начале координат имеет выражение:
-}('
ои/0\<
0«2/„
Из двух соотношений:
С /д*
su
<*•* ^? _ _ п
получается:
Qдх °3д: __1. ^ ^ ^
•>~~ 2 ос; '
При и=^щ, v = г>0 эти равенства приводят к формуле:
откуда
дЕ
Н^т*' (65)
что мы и хотели показать.
Кривые, лежащие на некоторой поверхности и имеющие во всех своих точках геодезическую кривизну, равную нулю, называются, геооезическими линиями этой поверхности. По предыдущей теореме, если две поверхности S, S' налагаются друг на друга, то геодезическим линиям одной из этих поверхностей на второй соответствуют также геодезические..

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230


Математика