Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.1 Ч.2
 
djvu / html
 

210 ГЛАВА xii. ПОВЕРХНОСТИ § 245
Согласно этой формуле, являющейся дополнением к формуле Эйлера, геодезическое кручение кривой Г обращается в нуль в том и только в том случае, когда кривая Г касается какой-нибудь оси индикатрисы. Следовательно, линии кривизны могут быть определены как линии на поверхности, в каждой тичке которых геодезическое крумние равно нулю. Впрочем, эт.т результат следует и непосредственно из формулы (51), так как, приравнивая нулю правую часть этого рав^н-стаа, получим диференциальное уравнение линий кривизны. Заметим еще, что
при замене <о на <о -\- -=- в формуле (51 bis) правая часть ее меняет знак; следо-
J!i
вательно, если две кривые на поверхности пересекаются под прямым углом, то сумма геодезических кручений обеих кривых в точке пересечения равна нулю.
Если две поверхности S и S' пересекаются под постоянным углом по некоторой кривой Г, то разность 8 — 6' остается неизменной вдоль этой линии, и следовательно, геодезическое кручение Г имеет одну и ту же величину для обеих поверхностей.
Теорема Иоахимсталя получается как прямое следствие этого результата. При помощи свойств геодезического кручения можно весьма просто доказать теорему Дюпена. Пусть будут Sj, S2, Ss три поверхно:ти, проходящие через точку М и относящиеся, соответственно, к трем семействам тройной ортогональ-ной системы. Пусть будут 1\, Г2, Г3 линиями пересечения соответственно S% и S}, S3 и St, Si и S2. Поверхности S2 и S3 ортогональны вдоль Г4, следовательно, геодезическое кручение кривой Г\ одно и то же для обеих поверхностей; обозначим его через т,. Для кривых Г3 и Г3 аналогичное значение имеют буквы т2 и -$, величины этих геодезических кручений в точке М удовлетворяют соотношениям:
ибо, например, на поверхности S2 кривые Г4 и Г2 являются ортогональными. Следовательно, в точке М мы имеем:
Так как М — любая точка пространства, то кривые Г; действительно являются линиями кривизны для обеих поверхностей S^., которым они принадлежат *.
* Теоремы Менье и Боннэ не являются специальным свойством линий, лежащих на поверхности. Эти свойства распространяются на все системы кривых Г, удовлетворяющих одному и тому же соотношению вида:
A dx + В dy + Cdz = О,
где А, В, С1—функции от х, у, г. Существует бесчисленное множество кривых этого рода, зависящих от одной произвольной функции, так как можно произвольно задать, например, у как функцию х:
y=f(x),
и г определится из дифегенциального уравнения первого порядка. Касательные к кривым Г, проходящим через данную точку пространства, лежат в плоскости Р, перпендикулярной к прямой Д с направляющими параметрами А, В, С. Для всех таких кривых, имеющих в данной точке общую касательную, дза вы-
cos9 1 ав , „ '
ражения: —=- , -~ — -т- имеют одну и ту же величину; здесь R и Т имеют
/\ 1 US
обычное значение, а 0 — угол, образуемый прямою Д с главной нормалью к кривой Г.
В самом деле, мы можем предположить, что А, В и С равны направляющим
косинусам нормали к плоскости Р. и очевидно, что член ---------—-------2—L.--------
d&
в формуле (6). и определитель Н в формуле (51) зависят только от х, у, г, dx dy dz ds' ds ' ds '

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 230


Математика