Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.1 Ч.2
 
djvu / html
 

200 • ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 239—240
Эти условия показывают, что х, у, г представляют собою три интеграла уравнения вида:
(36)
Аи dv ди dv
где М и N — произвольные функции от а и v . Значит, достаточно знать три различных интеграла какого-нибудь уравнения вида (36), чтобы иметь уравнение поверхности, отнесенной к сопряженной системе. Например, если принять M = N — 0, то всякий интеграл уравнения (36) будет равен сумме функции от и и функции от »; следовательно, на всякой поверхности, представляемой уравнениями:
x=f(u)+fi(v), y= кривые (а) и (v) образуют сопряженную сеть.
Поверхности вида (37) называются поверхностями переноса. Каждая такая поверхность может быть образована двумя различными способами поступательным движением некоторой неизменяемой кривой Г, одна из точек которой описывает некоторую другую кривую Г'. В самом деле, рассмотрим четыре точки AJ0, /И4, Мг, М, соответствующие значениям (щ, t>0), (а, »0), (и0, v), (u,v) параметров а и v. На основании формул (37), эти точки будут вершинами параллелограма *. Если, оставляя г»0 постоянным, мы будем изменять и, то точка уИ4 опишет некоторую кривую Г поверхности; точно так же, если при постоянном иа мы будем изменять v, то точка Af2 опишет некоторую другую кривую Г' поверхности. Следовательно, эта поверхность может быть образована как поступательным движением кривой Г, причем точка 5W2 описывает кривую Г', так и поступательным движением кривой Г', причем точка М{ описывает кривую Г. Из самого способа образования таких поверхностей очевидно, что оба семейства кривых — сопряженные; в самом деле, например, касательные прямые, проведенные к различным положениям кривой Г' в тех точках, где эта кривая пересекает кривую Г, образуют цилиндр, описанный около поверхности вдоль кривой Г; следовательно, касательные к кривым Г и Г' — сопряженные.
240, Линии кривизны. Линия, лежащая на поверхности S, называется линией кривизны этой поверхности, если касательные ее в каждой точке имеют направление одной из осей индикатрисы. Эти линии, следовательно, определяются диференциальным уравнением, полученным уже нами раньше:
(D du + Ef dv) (Fdu -f G dv) — (?>' du -f D" dv) (E du -\-Fdv) = 0, (25)
dv-которое дает всегда два действительных значения — . Из общей теории
диференциальных уравнений следует, что в каждой обыкновенной точке поверхности (притом не являющейся точкой округления) проходят две и только две линии кривизны, из которых каждая касается одной из осей индикатрисы. На каждой действительной поверхности, отличной от сферы и плоскости, имеются два семейства линий кривизны, образующих одновременно и ортогональную и сопряженную сеть.
Линии кривизны могут быть определены еще следующим их свойством: это такие линии, лежащие на поверхности S, вдоль которых нормали к S образуют развертывающуюся поверхность.
В самом деле, напишем уравнение нормали: X— x=Y~ У = Z — z . А ~ В ~~ С '
* Поэтому, при переходе щ в и отрезок М0/И2 перемещается поступательно в положение М^М. и точно так же при переходе я„ в » отрезок М^М^ переме^ щается поступательно в положение/М$М. (Ред.)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 220 230


Математика