Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.1 Ч.2
 
djvu / html
 

20 ГЛАВА VIII. РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ § 155
Чтобы доказать первую часть предложения, предположим, что, начиная с некоторого члена, мы постоянно имеем п2я>&>1. Пусть будет ]i число, заключающееся между 1 и k, l<^]i<^k. Ряд будет на-
верное сходящимся, если, начиная с некоторого члена, отношение —!i±-1
I п У будет меньше отношения 1-1 двух последовательных членов ряда,
общий член которого есть п~^. Для этого должно быть:
1 I Г" "^ ~, 1 ГТ? > ( /
(J \ и. 1-| -- ) по формуле Тейлора и ограничиваясь тремя членами,
мы можем представить неравенство (8) в виде:
1 + 7 + ^<1+^'"
где, при неограниченном возрастании п, \п остается постоянно меньшим некоторого определенного числа. Последнее неравенство дает:
При неограниченном возрастании п левая часть имеет пределом ц.; следовательно, начиная с достаточно большого значения п, эта часть будет постоянно меньше па,.; отсюда вытекает неравенство (8), а следовательно, и сходимо:ть ряда.
Если произведение пап при неограниченном возрастании п стремится к пределу /, то, применяя предыдущее правило, мы получим, что данный ряд будет сходящимся, если /> 1, и расходящимся, если /<О-Сомнение остается лишь при / = 1 , если только па.г не стремится к единице, оставаясь постоянно меньше ее; в этом случае ряд будет расходящимся.
Если произведение пчп имеет пределом единицу, то нужно сравнить — — *
ltn
с отношением двух последовательных членов ряда
2 (In 2)* + ' ' ' 4 ;Г(П7й)!* + ' ' ' '
который будет сходящимся, если ц > 1, и расходящимся, если ц=^1.
Полагая пап— 1 -+ $п, мы можем представить отношение двух пгследователь-пых членов исследуемого ряда в виде:
где, при неограниченном возрастании п, Р„ стремится к нулю. I 'ели. начиная с не-которого чле-ia, произведена" $п\пп постоянно больше некоторого < пре-Оеленного числа, большего единицы, то ряд — сходящийся. Если это отношение по -тоянно меньше единицы, то ряд — расходящийся

 

1 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230


Математика