Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.1 Ч.2
 
djvu / html
 

190 ГЛАВА XII. ПОВЕРХНОСТИ § 235
2) s2 — r/>0. В этом, случае нормальные сечения, соответствующие значениям угла <р, которые удовлетворяют уравнению
г cos2;p -(- 2s cos

имеют бесконечно большие радиусы кривизны. Пусть будут L^OL^, L'2OL9 следы этих нормальных сечений на плоскости хОу. Предположим, что когда след секущей плоскости проходит в угле L^OLZ, то предыдущий трехчлен положителен. Обозначая, как и в первом случае, через ? и rj координаты точки /и, мы найдем, что соответствующая часть индикатрисы представится уравнением:
/•S« + 2s;j] + fij2=l.
Это — уравнение гиперболы, для которой асимптотами служат прямые LjOLj и L'pLzj но, если след секущей плоскости проходит в угле L'2OL^, то мы будем иметь /?<^0, и, чтобы получить соответствующую часть индикатрисы, должно положить
? = J — /?coscp, т] — } — /?sin сопряженной с первою. При помощи этих двух сопряженных гипербол можно составить представление о ходе изменения радиуса кривизны нормального сечения. Приняв за оси координат главные оси обеих гипербол, мы найдем, что общая формула (.18) и в этом случае может быть представлена в виде (20), где /?а и /?2 обозначают главные радиусы кривизны, из которых один положителен, а другой отрицателен.
3) s2 — rt = 0. В этом случае радиус кривизны /? сохраняет постоянный знак, например знак плюс. Индикатриса представится и в этом случае уравнением (19), но так как здесь эта кривая принадлежит к параболам и вместе с тем имеет центр в начале координат, то она может быть только парою параллельных прямых. Приняв за ось Оу прямую, параллельную этим обеим прямым, мы будем иметь в этой системе осей s = 0, t = Q, и общая формула (18) примет вид:
7? ~~ /?! '
Эту формулу можно также рассматривать как предельный случай формулы (20), когда один из главных радиусов кривизны /?2 обращается в бесконечность.
Формулы Эйлера можно также вывести, не пользуясь формулою (13). Приняв рассматриваемую точку поверхности за начало координат, а касательную плоскость — за плоскость хОу и продолжая разложение г по формуле Тейлора до членов третьего порядка, мы можем написать:

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 210 220 230


Математика