Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.1 Ч.2
 
djvu / html
 

fSO ГЛАВА XI. КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ § 232
7*. Если две кои вые двойной кривизны имеют общие главные нормали, т» соприкасающиеся плоскости к обеим кривым в точках пересечения этих кривых с одною и тою же нормалью образуют постоянны \ угол. Эти две точки и центры кривизны обеих кривых образуют систему четырех точек, ингармоническое отношение которых постоянно. Произведение радиусов кручения обеих кривых в соответственных точках также постоянно.
[П. Серре, Мангейм (Minnheim), Шелль (Schell).]
8*. Пусть будут х, у, z прямоугольные координаты точек кривой двойной^ кривизны, и s — длина дуги этой кривой. Кривая Г0 представляемая уравнениями:
х9={ *»ds, уа = ( P"rfs, z0 = (
где дг0, у0, гв — текущие координаты, называется дополнительною кривою (courbe adjointe), а кривые, представляемые уравнениями:
X=хcos 9 + хй sin в, У—у cos 0 +j/0sine, Z=z cos 8 -f- z0sin 9.
где X, У, Z— текущие координаты, а в — постоянный угол, называются присоединенными кривыми (courbes associ* s). Найти для этих кривых расположение основного трехгранного угла (§ 228), а также радиусы кривизны и кручения.
Если кринизна кривой Г постоянна, то кривая Г0 имеет постоянное кручение, и присоединенными кривыми будут кривые Бертрана (§ 233). Вывести отсюда общие уравнения этих п следни . [Коши.]
9*. Найти кривыеГ, расположенные на поверхности вращения '-го порядка S, касательные к которым в каждой точке образуют постоянный угол с прямой,, проведенной через эту точку параллельно оси вращения. Исследовать различные-формы этих кривых и зависимости от характера поверхности. Показать, что эти кривые пересекают под постоянным углом образующие конусов, направляющей которых служит кривая Г и вершины которых суть фокусы среднего сечения,, расположенные на оси. Если поверхность S является круговым конусом, т» имеем обычную цилиндро-коническую винтовую линию. (См. Pirondini, Joitrn, de Crelle, 118, 1897, p. 61; G. Scheffers Leipzig Berichte, 1902, p. 36Э; E. Cesaro, Rendiconti di Napoli, 1903, p. 73.)
Если кривая Г пересечений двух конусов с вершинами S и S' пересекает под постоянным углом образующие этих двух конусов, то она пересекает под. постоянным углом также образующие третьего конуса с вершиной в точке S'"> расположенной на прямой SS'. Кривая Г расположена на поверхности вращения, среднее сечение которой есть овал Декарта, а точки S, S', S" - фокусы этой кривой. (Cesaro, ib.)
10. Для того чтобы прямая, неизменно связанная с основным трехгранным) углом кривой двойной кривизны Г и проходящая через вершину этого угла, образовала развертывающуюся поверхность, необходимо, чтобы эта прямая совпадала с касательною, за исключением того случая, когда кривая Г есть винтовая линия. В последнем случае существует бесчисленное множество прямых, обладающих требуемым свойством.
Для кривой Бертрана существуют два гиперболических пграболоида, неизменно связанных с основным трехгранным углом, все прямолинейные образующие которых образуют развертывающиеся поверхности.
[Чезаро (Cesaro), Rivista di Matematica, т. II, стр. 155, 1892.]
11*. Для того чтобы главные нормали кривой двойной кривизны были бииор>-малями другой кривой двойной кривизны, между радиусом кривизны и радиусом кручения первой кривой должн•> существовать соотношение вида:
"(* "АИ-
где Л и В—постоянные.
[Мангейм, Comptes rendus, 1877.)
[Случаи, когда Прямая, проходящая через точку кривой двойной кривизны и неразрывно связанная с основным трехгранным углом, остается во все вре-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 200 210 220 230


Математика