Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Гурса Э.N. Курс математического анализа Т.1 Ч.2
 
djvu / html
 

160 ГЛАВА XI. КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ § 223-224
причем дальнейшие члены будут выше третьей степени. Понятно, что
в формулах (36) /?, Т. —— .... должны быть заменены их значениями
as
при s = 0.
С помощью этих формул легко вычислить главные части некоторых бесконечно-малых. Так, расстояние от какой-нибудь точки кривой до соприкасающейся плоскости в бесконечно близкой точке той же кривой есть бесконечно-малое третьего порядка, и его главная часть равна
s3 -- cTvr-- Расстояние от точки кривой до оси Ох, т. е. касательной, есть
бесконечно-малое второго порядка, и его главная часть равна —=
2f\
(§ 209). Вычислим еще длину бесконечно малой хорды с. Мы имеем:
. ...t
причем дальнейшие члены будут выше четвертой степени. Отсюда следует:
-
таким образом разность s — с есть бесконечно-малое третьего по-
s3 рядка, и его главная часть равна .
Точно так же можно доказать, что кратчайшее расстояние между касательными в двух бесконечно близких точках кривой есть бесконечно-
53
малое третьего порядка, главная часть которого равна • . .эта тео-
1 2t\ I
рема принадлежит Буке (Bouquet).
224. Естественное (внутреннее) уравнение кривой. Если радиус кручения кривой Т равен бесконечности, то кривая плоская, так как Д должно быть равно нулю (§ 215), и в этом случае определяющие кривую диференциальные уравнения интегрируются в квадратурах.
Вообразим, что за независимре переменное взята дуга s; прямоугольные координаты х и у как функции s удовлетворяют двум уравнениям (§ 218, примечание4):
, м • (37>
ф)]
„ „ dx dy
Первому из этих уравнении можно удовлетворить, полагая — = cos а, — = sin a,
cts &s
где через а обозначен угол, образуемый с осью х положительным направлением касательной, и тогда второе из уравнений (37) дает нам:
эту формулу можно было бы написать непосредственно, исходя из определения радиуса кривизны.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 180 190 200 210 220 230


Математика